uzupelnic baze

[kudi]

znajdz baze przestrzeni V < R^4

V= { [x1, x2, x3, x4]: -3 (x2) + x3=x1 i x2- x3 - 3(x4) = 0 }

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ x_4=-x_2, \ x_3=x_1+3x_2}\)
\(\displaystyle{ B= \{ (1,0,1,0), \ (0,1,3, -1)\}}\)

[kudi]

ale jak to zrobiles bo nie mam pojecia...

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ v V = (x_1, x_2, x_3, x_4)= (x_1,x_2, x_1+3x_2,-x_2)=x_1(1,0,1,0) + x_2(0,1,3,-1)}\)

[gajatko]

Skąd wziąłeś że \(\displaystyle{ x_2=-x_4}\) ?

[mol_ksiazkowy]

ehh, sorki pomylilem x1 z x2, trzeba bedzie poprawic..

[gajatko]

To może od początku i w całości:
\(\displaystyle{ V= \{ [x_1, x_2, x_3, x_4]: -3 (x_2) + x_3=x_1\ ;\ x_2- x_3 - 3(x_4) = 0 \}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
-x_1-3x_2+x_3\quad =0
\\\quad\quad x_2-x_3-3x_4=0
\end{cases}\\
rz ft[\begin{array}{cccc}-1&-3&1&0\\0&1&-1&-3\end{array}\right]=2}\)
Niech \(\displaystyle{ \alpha =x_3, \beta =x_4}\) - parametry. Wtedy otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-1&-3\\0&1\end{array}\right]
ft[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]
=\left[\begin{array}{c}-\alpha\\\alpha+3\beta\end{array}\right]\\
ft[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]
={\left[\begin{array}{cc}-1&-3\\0&1\end{array}\right]}^{-1}
ft[\begin{array}{c}-\alpha\\\alpha+3\beta\end{array}\right]
=\left[\begin{array}{cc}1&3\\0&-1\end{array}\right]
ft[\begin{array}{c}-\alpha\\\alpha+3\beta\end{array}\right]
=\left[\begin{array}{c}-\alpha+9\beta\\\3\beta\end{array}\right]\\}\)
Stąd \(\displaystyle{ v=(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-\alpha +9\beta , 3\beta ,\alpha ,\beta )=
\cdot (-1,0,1,0)+\beta\cdot (9,3,0,1)}\)

Zatem przykładową bazą jest \(\displaystyle{ \{(-1,0,1,0),\ (9,3,0,1)\}}\), co można potwierdzić sprawdzając liniową niezależność tych wektorów.