zalezne czy niezalezne wektory

[kudi]

Wektory u, v , w sa liniowo zalezne w przestrzeni liniowej R^n Czy wektory u - v, u, w-v takze sa liniowo zalezne ??? prosze pomozcie chce sprawdzic czy dobrze zrobilem...



i jeszcze jedno podobne ale trudniejsze... Wektory a, a+b, a+b+c sa liniowo niezalezne w r^n pokazac ze a, b , c tez sa niezalezne...

[Rogal]

To napisz jak zrobiłeś, to my Ci sprawdzimy. Tak chyba będzie logiczniej, nie?

[Bierut]

Mam problem z pierwszym. Próbuję właśnie zrobić to samo zadanie ze zbioru zadań i nie wiem jak. Mógłby ktoś coś podpowiedzieć?


Drugi przykład zrobiłem tak:
Wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \ \vec{a}+\vec{b}, \ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}\) są liniowo niezależne.

Zakładam, że wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c}}\) także są liniowo niezależne, jeśli nie otrzymam sprzeczności, to założenie było prawdziwe.

\(\displaystyle{ k_1\vec{a}+k_2(\vec{a}+\vec{b})+k_3(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=0\\
(k_1+k_2+k_3)\vec{a}+(k_2+k_3)\vec{b}+k_3\vec{c}}\)
Z założenia \(\displaystyle{ \vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c}}\) są liniowo niezależne, więc
\(\displaystyle{ (k_1+k_2+k_3=0 \wedge k_2+k_3=0 \wedge k_3=0) \Leftrightarrow k_1=k_2=k_3=0}\)
czyli wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \ \vec{a}+\vec{b}, \ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}\) są liniowo niezależne, a założenie było prawdziwe.
\(\displaystyle{ c.n.d.}\)