Witam, pare zadanek z macierzy:
1. Wykazać, że jeżeli stopień wyznacznika n=2k, to:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}a&0&...&0&b\\0&a&...&b&0\\...&...&...&...&...\\0&b&...&a&0\\b&0&...&0&a\end{array}\right|}\)= \(\displaystyle{ ( a^{2} - b ^{2} ) ^{k}}\)
2.Niech K będzie ciałem charakterystyki różnej od 2. Macierz kwadratowa \(\displaystyle{ A= (a _{ij} ) \in M _{n} (K)}\)
nazywa się skośno-symetryczna, jeśli \(\displaystyle{ a _{jk} = -a _{kj}}\). Udowodnij, że gdy stopień macierzy jest nieparzysty, to jej wyznacznik jest równy zero. (Uwaga: z warunku \(\displaystyle{ a _{jk} = -a _{kj}}\) wynika, że \(\displaystyle{ a _{jj} =0}\)). Wskazówka: \(\displaystyle{ A ^{T} = -A}\)
3. Korzystając z twierdzenia Cauchy'ego: \(\displaystyle{ det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B)}\)
(a) udowodnić, że iloczyn dwóch liczb, z których każda jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, jest też sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.
(b) udowodnić, że iloczyn dwóch liczb, z któryhc każda jest sumą kwadratów czterech liczb całkowitych, jest też sumą kwadratów czterech liczb całkowitych.
4. Niech \(\displaystyle{ A= (a _{11} )}\) będzie macierzą stopnia n, której elementami są liczby zespolone. Oznaczamy przez macierz \(\displaystyle{ \overline{A}}\) macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie liczby \(\displaystyle{ a _{ij}}\) liczbami sprzężonymi \(\displaystyle{ \overline{a ^{ij} }}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ det(\overline{A} = \overline{det(A)}}\).
5. Udowodnić, że nie można tak dobrać wyrazów macierzy kwadratowej stopnia trzeciego o elementach rzeczywistych, żeby wszystkie iloczyny \(\displaystyle{ (-1)^{I _{f} } \cdot a _{1f(1)} \cdot a _{2f(2)} \cdot a _{3f(3)}}\) były dodatnie.
Dzięki z góry za pomoc