Kilka prostych pytań :)

[mati1988k]

Witam mam kilka prostych pytań, na które nie mogę znaleźć odpowiedzi w internecie bo nawet nie wiem jak szukać. Byłbym wdzięczny gdyby ktos mi odpowiedział na te pytania, (naj lepiej pokazując na przykładzie).

A więc:

1) Jak sprawdzić czy jakieś tam działanie definiuje grupę w podanym zbiorze?
np. \(\displaystyle{ a+b= \frac{ab}{a+b} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ zb. \mathbb{R_{+}}}\)


2) Mam takie zadanko: Czy poniższą tabelkę można uzupełnić tak, aby zbiór (a,b,c) z działaniem określonym otrzymaną tabelka był grupą.

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|ccc}

& a & b & c \\ \hline
a & a & b & c \\
b & b & a & \\
c & c & & \\
\end{tabular}}\)

No i pytanie jest. Kiedy taka tabelka będzie grupą? Od czego to zależy?

3) Jak sprawdza się czy funkcja jest homomorfizmem grup. Oraz jak policzyć jądro i obraz ?

np: \(\displaystyle{ \varphi _{(a)} = \sqrt[3]{a}}\)

\(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{R_{+}}\backslash\lbrace0\rbrace \to \mathbb{R_{+}}\backslash\lbrace0\rbrace}\)

\(\displaystyle{ (\mathbb{R_{+}}\backslash\lbrace0\rbrace, z dzialaniem )}\)

4)Jak udowodnić, że jakaś funkcja jest izomorfizmem z jakiejś grupy na jakąś inną.

np: Udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ \varphi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}}\) określona wzorem \(\displaystyle{ \varphi _{(x)} = x-5}\) jest izomorfizmem z grupy \(\displaystyle{ (\mathbb{Z},+)}\) na grupę \(\displaystyle{ (\mathbb{Z},\oplus)}\) , gdzie \(\displaystyle{ x\oplusy=x+y-5}\) dla \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{Z}}\).


5)Od razu zadanko W pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}}\) wykonać dzielenie z resztą:
\(\displaystyle{ x^{4}+4x^{3} +2x^{2} +3x + 4}\) przez \(\displaystyle{ x^{3} +x^{2} +2x + 2}\)



Wiem, że to jest sporo dla was roboty napisać mi to ale jedna osoba nie musi "tłumaczyć" wszystkiego. Może rozpisać jedno zadanko bo dobrze by było wiedzieć chociaż połowę z tego . Bo jest mi to bardzo potrzebne . Proszę was o pomoc.

I wielkie dzięki z góry

[mol_ksiazkowy]

mati1988k napisal

1) Jak sprawdzić czy jakieś tam działanie definiuje grupę w podanym zbiorze?
np. \(\displaystyle{ a+b= \frac{ab}{a+b} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ zb. \mathbb{R_{+}}}\)

sprawdzasz, czy to dzialanie jest łaczne, czy istnieje element neuterlny i czy kazdy element posiada don odwrotny, I tyle, tu np w tym przykladzie brak jest el. neutralnego.
tj \(\displaystyle{ a \circ b= \frac{ab}{a+b}}\)

2) Mam takie zadanko: Czy poniższą tabelkę można uzupełnić tak, aby zbiór (a,b,c) z działaniem określonym otrzymaną tabelka był grupą.

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|ccc}

& a & b & c \\ \hline
a & a & b & c \\
b & b & a & \\
c & c & & \\
\end{tabular}}\)

No i pytanie jest. Kiedy taka tabelka będzie grupą? Od czego to zależy?

nie. Tu widac, ze el nautralny o ile by to była grupa e=a, A jedyny model grupy trzyelementowej jest jest taki:
\(\displaystyle{ H=\{e, b, c\}}\),
\(\displaystyle{ c^2=b, \ b^2=c, \ bc=cb=e}\)

ps zly dzial dac do alg abstrakcyjna

[mati1988k]

A jak określić element neutralny przy pomocy tylko i wyłącznie tabelki ?

[mol_ksiazkowy]

Jesli e to elem. neutralny, to \(\displaystyle{ ex=xe=x}\) dla \(\displaystyle{ x G}\) A tutaj mamy:
ze gdyby \(\displaystyle{ e=c}\), to \(\displaystyle{ ac=a}\) sprzeczne z tabelka
i gdyby \(\displaystyle{ e=b}\), to \(\displaystyle{ ab=a}\) sprzeczne z tabelka
wiec...zostaje tylko e=a

[sztuczne zęby]

5) Spróbuje przebrnąć przez zapis tego dzielenia.
\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^4+4x^3+2x^2+3x+4) : (x^3+x^2+2x+2)=x+3 \\
\underline{-x^4-x^3-2x^2-2x} && \\
\qquad \ 3x^3+0 x^2+x+4 && \\
\qquad \ \underline{-3x^3-3x^2+4x+4} && \\
\qquad \qquad \ \ -3x^2+0x+3 &&
\end{arrey}}\)