Wyznaczyć rząd poniższej macierzy jako funkcję parametru a

[lukasgt]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&a&-1&2\\2&-1&a&5\\1&10&-6&1\end{array}\right]}\)

[gajatko]

Zeruję algorytmem Gaussa:
\(\displaystyle{ rz\left[\begin{array}{cccc}1&a&-1&2\\2&-1&a&5\\1&10&-6&1\end{array}\right]=\dots =
rz\left[\begin{array}{cccc}1&a&-1&2\\0&-1-2a&a+2&1\\0&0&a^2+2a-15&3a-11\end{array}\right]\\
={\begin{array}{c}k_3+k_1\\w_3-2w_3\\k_4-2k_1\end{array}}
\ rz\left[\begin{array}{cccc}1&a&0&0\\0&-1-2a&a+2&1\\0&0&a^2-9&3a-11\end{array}\right]}\)
Mamy tu cztery minory 3-go stopnia. Po obliczeniu wyznaczników (jest dużo zer więc nie ma wiele liczenia) dochodzimy do tego, że aby którykolwiek był różny od zera,
to musi być spełnione: \(\displaystyle{ a\neq -{1\over 2}}\).
Zaś dla \(\displaystyle{ a=-{1\over 2}}\) mamy macierz:
\(\displaystyle{ rz\left[\begin{array}{cccc}1&-{1\over 2}&-1&2\\2&-1&-{1\over 2}&5\\1&10&-6&1\end{array}\right]=\cdots =
rz\left[\begin{array}{cccc}-2&1&2&-2\\
0&0&0&6\\0&0&0&6\cdot 21\end{array}\right]=2}\)
Ostatecznie nasza funkcja ma postać:
\(\displaystyle{ (rz A)(a)= \begin{cases} 2 \quad a=-{1\over 2}\\ 3 \quad a\neq -{1\over 2}\end{cases}}\)