zadania z wymiaru jądra , obrazu ..

[Ambi]

1. Niech F będzie operatorem na V takim, że dim Im F = dim Im F*F. Pokazać, że część wspólna kerF i ImF = {0}.
2. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ F, G Hom (V, U)}\) to dim Im (F+G) \(\displaystyle{ \leqslant}\) dim ImF + dim ImG.

[Qń]

No, w końcu jakieś przyzwoite zadania teoretyczne w oceanie rachunkowej nudy .

Ad 1.
Zawsze jest \(\displaystyle{ \ker F \ker F \circ F}\) (dlaczego? - ćwiczenie). Z podanego warunku wynika ponadto, że \(\displaystyle{ \dim \ker F = \dim \ker F \circ F}\) (dlaczego? - też ćwiczenie ). No ale jeśli jestem podprzestrzenią liniową jakiejś przestrzeni i mam wymiar równy tej przestrzeni, to muszę być nią całą, stąd:
\(\displaystyle{ \ker F = \ker F \circ F}\) (*)

Przejdźmy do dowodu tezy. Weźmy dowolne \(\displaystyle{ v \ker F \cap Im \ F}\). Oznacza to, że:
\(\displaystyle{ F(v)=0}\) oraz \(\displaystyle{ \exists u V : F(u)=v}\)
Przyłóżmy \(\displaystyle{ F}\) do obu stron ostatniej równości. Mamy: \(\displaystyle{ F(F(u))=F(v)=0}\), czyli \(\displaystyle{ u \ker F \circ F}\), czyli z uwagi na (*) \(\displaystyle{ u \ker F}\), czyli \(\displaystyle{ F(u)=0}\), czyli \(\displaystyle{ v=0}\), a to oczywiście kończy dowód.

Ad 2.
Niech \(\displaystyle{ \dim Im \ F = k}\) i \(\displaystyle{ \dim Im \ G = l}\) oraz \(\displaystyle{ Im \ F = lin \{ v_1, \dots, v_k \}}\) i \(\displaystyle{ Im \ G = lin \{ w_1, \dots, w_l \}}\). Wskazówka: pokazać, że \(\displaystyle{ Im \ (F+G) lin \{ v_1, \dots, v_k, w_1, \dots, w_l \}}\).

Pozdrawiam.
Qń.