Wektory liniowo zalezne

[Nati071188]

Majac dane nastepujace wektory sprawdzic, czy sa one liniowo zalezne, czy liniowo niezalezne:

\(\displaystyle{ a_{1} = ft[ 2,3,1,4 \right]}\)
\(\displaystyle{ a_{2} = ft[ 3,1,0,0 \right]}\)
\(\displaystyle{ a_{3} = ft[ 0,1,2,1 \right]}\)
\(\displaystyle{ a_{4} = ft[ 2,3,1,1 \right]}\)
\(\displaystyle{ a_{5} = ft[ 2,2,2,2 \right]}\)

Zauwazajac, ze liczba wektorow jest wieksza niz przestrzen \(\displaystyle{ R ^{n}}\) i korzystajac z twierdzenia stwierdzamy ze uklad jest liniowo zalezny. Lecz wlasnie powinnismy to udowodnic wykazujac ze Rzad macierzy stworzonej przez zlozenie wektorow nie jest rowny 4. Ja wlasnie nie wiem jak obliczyc rzad macierzy danej:

\(\displaystyle{ A= ft[ \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ \end{array} \right]}\)
Jej wymiar wynosi 5 x 4. A wiec mozliwe rzedy macierzy wynosza 4, 3, 2, 1. Mam pytanie w jaki sposob mam obliczyc ten rzad, a wiec najpier poobliczac wyznaczniki 4 x 4 wybierajac pokolei wszystkie mozliwe...?Pomocy

[Rogal]

Hmm, o ile się dobrze orientuję w tym, to rząd macierzy jest z definicji równy liczbie kolumn liniowo niezależnych. A że na ostatnim wykładzie : ) zostało udowodnione, że zamiast kolumn można brać w tych elementarnych twierdzeniach wiersze, stąd na pewno któryś wiersz jest liniowo zależny od pozostałych. Stąd licząc minor stopnia czwartego poprzez wyrzucenie jednego z wierszy jest szansa, ze wyjdzie on niezerowy, a wtedy rząd macierzy jest 4. Jeśli wyjdzie zero, to bodajże trzeba brać inny i jeśli by wszystkie wyszły zerami, to wtedy rząd macierzy to na pewno nie jest 4. Wtedy należy szukać wśród minorów trzeciego stopnia i te de.
Mam nadzieję, że nie okrywam się hańbą po tym, co tutaj wypisałem ;p

[Emiel Regis]

Zauwazajac, ze liczba wektorow jest wieksza niz przestrzen \(\displaystyle{ R ^{n}}\) i korzystajac z twierdzenia stwierdzamy ze uklad jest liniowo zalezny. Lecz wlasnie powinnismy to udowodnic wykazujac ze Rzad macierzy stworzonej przez zlozenie wektorow nie jest rowny 4.

Stwierdzenie że rzad jest większy od przestrzeni jest co najmniej niestosowne. Zapewne Ci chodziło że liczba wektorów jest większa niż wymiar przestrzeni.
Wektorów jest pięć, aby nie były niezależne to rząd musi być

[Nati071188]

No tak, ale takich wyznacznikow cztery na cztery jest dosc duzo...dlatego pytam, czy mozna w jakis inny sposob wyliczyc, ze ten rzad nie wynosi 4, bo nie moze wynosic, bo wektory sa liniowo zalezne...

[ Dodano: 13 Stycznia 2008, 10:27 ]
Tak mialam to na mysli, dokladnie...a czy mozna prosic o takie przeksztalecenie i zauwazenia, bo ja nie bardzo sie orientuje, Prosze

[Emiel Regis]

hehe, ale moja droga ten rząd własnie wynosi cztery. Przeliczyłem to sobie na szybko (z dokładnoscią do moich pomyłek).
Ja robiłem tak:
1. Od wiersza pierwszego i czwartego odjąłem piąty
2. Od pierwszego wiersza odjąłem czwarty
3. Podzieliłem pierwszy wiersz przez 3, no i mając jedynkę wyzerowałem nią już całą ostatnią kolumnę i dalej samo idzie...
Nie wklepuje tutaj tych macierzy bo to więcej pisania niż matematyki. Jak coś to doczytaj o wierszowych przekształceniach elementarnych.

Tu masz ładnie na przykładzie pokazane.

[Nati071188]

Ok, to sobie porobie to, rozumiem...ale teraz mam drugie pytanie: Jezeli wychodzi rzad 4, to te wektory sa liniowo niezalezne, tak...?

[ Dodano: 13 Stycznia 2008, 11:02 ]
A bo w odpowiedziach maja napisane, ze wektory sa liniowo zalezne.

[ Dodano: 13 Stycznia 2008, 11:03 ]
A jezelisa liniowo zalezne, to rzad nie powinien wynosic 4, nieprawdaz...?Zgodnie z odpowiedziami...

[Emiel Regis]

Wektorów jest pięć, aby nie były niezależne to rząd musi być

[Nati071188]

Czyli, jezeli wektory bylyby w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{5}}\) i podane bylyby 5 wektorow, to jezeli rzad jest rowny 5, to wektory sa liniowo niezalezne, a jezeli mniejszy niz 5 na przyklad rzad wynosi 4, to wektory sa liniowo zalezne. Dobrze rozumuje...?

[Emiel Regis]

Tak. Tylko że przestrzeń w jakiej jesteśmy nie gra roli.
Dla niezależności zawsze rząd musi być równy liczbie wektorów. To oznacza że żadnego nie da się wyrazić jako kombinacji liniowej innych.

[Nati071188]

Aha dzieki, teraz jest dla mnie wszystko jasne Pozdrawiam