Przekształcenia liniowe vol.2

[unikat900]

Krok po kroku... Jak wyznaczyć jądro i obraz podanego przekształcenia liniowego korzystając z interpretacji geometrycznej:

1) \(\displaystyle{ L:R^2->R^2}\) , obrót o kąt \(\displaystyle{ \alfa = \pi/3}\) wokół początku układu współrzędnych ;
2) \(\displaystyle{ L:R^2->R^2}\), rzut prostokątny na prostą \(\displaystyle{ x+y=0}\)

[kuch2r]

Ad.1
Macierz \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\)przeksztalcenie liniowego \(\displaystyle{ \varphi: R^2\to R^2}\) polegajacego na obrocie o kat \(\displaystyle{ \theta=\frac{\pi}{3}}\) wokolo poczatku ukladu wspolrzednych jest postaci:
\(\displaystyle{ \mathcal{A}_\varphi=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ Im\varphi=R^2}\)

Ad.2
Macierz przeksztalcenia \(\displaystyle{ \varphi'}\) jest postaci:
\(\displaystyle{ \mathcal{B}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]}\)
Obrazem tego przeksztalcenia bedzie zbior:
\(\displaystyle{ Im_{\varphi'}=\{(x,y): y=-x,\quad (x,y)\in R^2\}}\)

Z wyznaczenie jadra nie powinienes miec problemu....

[Qń]

kuch2r - ale to są mało apetyczne rachunki, a nie interpretacja geometryczna .

Q.

[unikat900]

Jak układa się takie macierze kuch2r?

[kuch2r]

kuch2r - ale to są mało apetyczne rachunki, a nie interpretacja geometryczna .

Q.

zgadza sie.
interpretacja geometryczna w naszym przypadku opiera sie tylko i wylacznie na zrozumieniu definicji dotyczacych jadra i obrazu przeksztalcenia liniowego.