Bazy przestrzeni liniowych

[server88]

Wskazać bazy i określic wymiary podanych przestrzeni liniowych:

a) V = {(2x, x+y, 3x-y, x-2y): x,y e R}
b) V = {(r-2s-t, 2r+s-3t, 3r+4s-5t): r,s,t e R}
c) V = {(x,y,z,t) e R^4: x+y=z+t}

Rozwiązania:

a)
x(2,1,3,1) + y(0,1,-1,-2)
v,u e V
v = (2,1,3,1), u = (0,1,-1,-2)
wektory generują przestrzeń V, są liniowo niezależne, a więc są bazą; dimV = 2

b)
v,u,w e V
v = (1,2,3), u = (-2,1,4), w = (-1,-3,-5)
wyznacznik macierzy ich współrzędnych = 0, co znaczy że wektory są zależne, ale
wektory v, u są liniowo niezależne i generują przestrzeń V, czyli są jej bazą; dimV = 2

c)
x = z - 2y, co daje
V = {(z-2y,y,z,t): y,z,t e R} = lin{(-2,1,0,0), (1,0,1,0), (0,0,0,1)}
liniowa niezależność otrzymanych trzech generatorów przestrzeni V, wynika z tego, że
(z-2y,y,z,t) = (0,0,0,0) y=z=t=0
generatory te są bazą; dimV = 3


kompletnie nie rozumiem co się dzieje w tych przykładach :/ każdy robiony innym sposobem i nic z tego nie wiem:/ bardzo prosiłbym o wytłumaczenie tych przykładów
z góry dzięki

[Lukasz_C747]

Wszystkie są robione tym samym sposobem

Jeśli masz podaną jakąś zależność między współczynnikami, to wyliczasz jak najwięcej z nich i podstawiasz (w przykładzie zrobili to zresztą błędnie, bo nie x=z-2y, a x=z+t-y). Następnie wyciągasz współczynniki przed nawias i otrzymujesz kombinację liniową konkretnych wektorów (ze względu na dowolność współczynników). Sprawdzasz ich liniową niezależność. Jeśli są liniowo niezależne, to rozpinają daną przestrzeń, a jej wymiar jest równy liczbie wektorów. Jeśli są liniowo zależne, to robisz z tych wektorów macierz i liczysz jej rząd. Rząd da ci wymiar przestrzeni i maksymalną liczbę wektorów liniowo niezależnych (np. masz 3 wektory i rząd 2, to wszystkie 3 razem są liniowo zależne, ale już każde 2 nie). Ponowie wektory liniowo niezależne rozepną przestrzeń.
Oczywiście, wektory rozpinające jakąś przestrzeń tworzą jednocześnie jej bazę.

[server88]

Zrobiłem te przykłady wg Twojego opisu i rzeczywiście ma to jakiś sens a autorzy zadań i odpowiedzi pominęli większość rozwiązania, chyba;

Powiedzmy, dla przykładu a), że:
mam te dwa wektory v,u, sprawdzam ich liniową niezależność (z definicji), czyli wychodzi układ równań:
2a=0
a+b=0
3a-b=0
a-2b=0
gdzie a,b e R; (tu oczywiście nie trzeba robić układu żeby określić niezależność, ale ... )
i wychodzi co miało wyjść a=b=0;
i tutaj nie wiem, bo wektory te mają generować przestrzeń V i jest takie coś dla przestrzeni R3, że jeżeli 3 wektory są liniowo niezależne to nie trzeba sprawdzać czy generują tą przestrzeń tylko automatycznie są bazą tej przestrzeni, to czy w tym przypadku w R2 też tak jest i nie trzeba dalej sprawdzać?

dla b):
tworzę macierz z wektorów v,u,w, wyznacznik wychodzi 0, czyli wektory nie tworzą bazy; dalej liczę wymiar, wychodzi 2 i w rozwiązaniu mogę podać dowolną parę wektorów jako bazę, czyli albo u,v albo v,w.. ?

i dla c):
tutaj się pomyliłem jak pisałem i jest x+y=z-y
i w tym przykładzie wyznaczam podprzestrzeń liniową (za pomocą bazy standardowej jeśli się nie mylę ), sprawdzam niezależność dla wektorów w tej podprzestrzeni, wszystkie są niezależne i wymiar jest równy 3;

wiem że pewnie przepisałem wszystko na nowo, ale chcę być pewien że to do mnie dociera

mam przykład:
V = {(x,y,z,t) e R^4: x+z=0 i y-t=0}
czyli coś jak w c) wychodzi x=-z, y=t
V = {(-z,t,z,t): z,t e R} = lin{(-1,0,1,0), (0,1,0,1)}
są liniowo niezależne, a wymiar jest 2 . Dobrze?

I jeszcze mam jedno pytanie : czy zapis tych przestrzeni ma jakiekolwiek znaczenie? Np. w a) i c), na dodatek w c) jest podane R^4, ma to jakieś znaczenie?

[Lukasz_C747]

Odnośnie a),b),c) (choć w ostatnim nie do końca rozumiem o co ci chodzi ) tak. Odnośnie a), to jeśli mamy n wektorów liniowo niezależnych to generują one R^n.
Przykład zrobiony dobrze.
Odnośnie ostatniego pytania nie, te zapisy są równoważne. Jeśli piszemy, że wektor należy do R^n, tzn. że każda z jego n współrzędnych należy do R, możemy też wypisać wypisać każdą współrzędna i zaznaczyć, że należy do R. Drugi zapis jest o tyle wygodniejszy, że jak widzisz w przykładach, mamy czasem więcej współrzędnych niż współczynników.

[server88]

Serdeczne dzięki to już wszystko na ten temat wiem, jak się coś pojawi to napisze.
Pozdrawiam

Pojawiło się, czytam i wiem że banał nie zadanie, ale siedze juz tyle czasu że nic nie moge wymyślić

1. Wyznacz bazę podprzestrzeni liniowej rozpiętej na wielomianach:
-1 + x - 2x^2, 3 + 73x + 6x^2, 9

2. Niech dane będa wektory:
v1 = (1,-2,1), v2 = (-1,1,-3), v3 = (1,-3,-11)
w1 = (1,0,1), w2 = (-1,-1,2)
Niech V1 = span{v1, v2, v3} oraz V2 = span{w1, w2}. Wyznacz bazę przestrzeni V1 iloczyn V2.

[galardo1993]

Mam podobne zadanie do zad2. Bazą przestrzeni\(\displaystyle{ V1 \cap V2}\) bd te wektory które dadzą się przedstawić jako kombinacje liniowe wektorów z \(\displaystyle{ V1}\) i \(\displaystyle{ V2}\) Niestety mam problem z ich wyznaczeniem.