Przekształcenia liniowe vol.1

[unikat900]

Pierwsze pytanie do ekspertów. Proszę o instrukcję - jak rozwiązać taki typ zadań krok po kroku. Dwa przykłady:

Zbadać czy podane przekształcenia są liniowe:
1) \(\displaystyle{ F:R^2->R^1, \ F(x_1,x_2)=x_1-3x_2 ;}\)
2)\(\displaystyle{ F:R^3->R^5, F(u,v,w) = (u-4v,u+2v,w,u-3w);}\)

[sztuczne zęby]

Sprawdzić warunki.
\(\displaystyle{ F(x+y)=F(x)+F(y) \\
F( x)=\alpha F(x)}\)

[unikat900]

Tyle w książce też wyczytałem. Jak to będzie wyglądało na podstawie zadań, które zamieściłem.

[PFloyd]

bierzemy dowolne wektory \(\displaystyle{ (x_1,x_2),(y_1,y_2)\in R^2}\) oraz dowolne dwa skalary \(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2 R}\) (o ile te przestrzenie są zadane nad ciałem R)

i sprawdzasz warunek \(\displaystyle{ F(\lambda_1 (x_1,x_2)+\lambda_2 (y_1,y_2))=F((\lambda_1 x_1,\lambda_1 x_2)+(\lambda_2 y_1,\lambda_2 y_2))=F((\lambda_1 x_1+\lambda_2 y_1,\lambda_1 x_2+ \lambda_2 y_2))=\lambda_1 x_1+\lambda_2 y_1-3\lambda_1 x_1 -3\lambda_2 y_1= \lambda_1 F((x_1,x_2))+\lambda_2 F((y_1,y_2))}\)