Zbadaj czy dane odwzorowania sa liniowe:
\(\displaystyle{ \varphi}\) \(\displaystyle{ R^{3}}\) : \(\displaystyle{ R^{3}}\), \(\displaystyle{ \varphi}\)\(\displaystyle{ (x,y,z)=(2x - y, x+y +2z, 3y -2z)}\)
\(\displaystyle{ \varphi}\) \(\displaystyle{ R^{3}}\) : \(\displaystyle{ R^{2}}\), \(\displaystyle{ \varphi}\)\(\displaystyle{ (x,y,z)=(2x + 4y - z, x+5z)}\)
\(\displaystyle{ \varphi}\) \(\displaystyle{ R^{3}}\) : \(\displaystyle{ R^{4}}\), \(\displaystyle{ \varphi}\)\(\displaystyle{ (x,y,z)=(x + y, y -2z, 2x + 3y + z,x + z)}\)
\(\displaystyle{ \varphi}\) \(\displaystyle{ R^{2}}\) : \(\displaystyle{ R^{3}}\), \(\displaystyle{ \varphi}\)\(\displaystyle{ (x,y,z)=(x - y, 3x+y, 4y)}\)
\(\displaystyle{ \varphi}\) \(\displaystyle{ R^{2}}\) : \(\displaystyle{ R^{2}}\), \(\displaystyle{ \varphi}\)\(\displaystyle{ (x,y,z)=(x - 2y, x^2+ y)}\)
z gory dzieki za jakakolwiek podpowiedz (jestem w tym zielony)
odwzorowania liniowe
odwzorowania liniowe
ok ale jezeli ktos by sie pofatygowal rozwiazac przynajmniej jeden przyjład byłbym wdzieczny (chciałbym zobaczyc na liczbach jak to ma wygladac woogle) bo tak jak wczesniej pisałem na razie to czarna magia
-
- Użytkownik
- Posty: 623
- Rejestracja: 24 maja 2006, o 17:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ..
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 110 razy
odwzorowania liniowe
No to ja zrobię pierwszy. Tylko, że sprawdzę dwa warunki równoważne z tym co napisał PFloyd.
1) \(\displaystyle{ \varphi (x+y)= \varphi(x)+ \varphi(y)}\)
2) \(\displaystyle{ \varphi (ax)= a \varphi (x)}\)
1)\(\displaystyle{ \varphi (x_{1} + x_{2}, y_{1}+y_{2}, z_{1}+z_{2})=\\
=(2 x_{1}+2x_{2}-y_{1}-y_{2} , x_{1} + x_{2}+ y_{1} +y_{2} , 3y_{1} + 3y_{2}-2z_{1} - 2z_{2})=}\)
\(\displaystyle{ = (2x_1-y_1,x_1+y_1,3y_1-2z_1)+(2x_2-y_2,x_2+y_2,3y_2-2z_2)= \\
= \varphi(x_1,x_2,x_3) + \varphi(x_2,y_2,z_2)}\)
2)\(\displaystyle{ \varphi(ax,ay,az)=(2ax-ay,ax+ay,a3y-a2z)=a(2x-y,x+y,3y-2z) = \\ = a \varphi (x,y,z)}\)
No i to jest taka zabawa.
A teraz pokaże ostatni przykład, który nie jest przekształceniem liniowym.
\(\displaystyle{ \varphi(x_1 + x_2 , y_1+y_2)= (x_1 + x_2 -2y_1 - 2y_2 , x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2+y_1+y_2) \varphi(x_1,y_1) + \varphi (x_2,y_2)}\)
1) \(\displaystyle{ \varphi (x+y)= \varphi(x)+ \varphi(y)}\)
2) \(\displaystyle{ \varphi (ax)= a \varphi (x)}\)
1)\(\displaystyle{ \varphi (x_{1} + x_{2}, y_{1}+y_{2}, z_{1}+z_{2})=\\
=(2 x_{1}+2x_{2}-y_{1}-y_{2} , x_{1} + x_{2}+ y_{1} +y_{2} , 3y_{1} + 3y_{2}-2z_{1} - 2z_{2})=}\)
\(\displaystyle{ = (2x_1-y_1,x_1+y_1,3y_1-2z_1)+(2x_2-y_2,x_2+y_2,3y_2-2z_2)= \\
= \varphi(x_1,x_2,x_3) + \varphi(x_2,y_2,z_2)}\)
2)\(\displaystyle{ \varphi(ax,ay,az)=(2ax-ay,ax+ay,a3y-a2z)=a(2x-y,x+y,3y-2z) = \\ = a \varphi (x,y,z)}\)
No i to jest taka zabawa.
A teraz pokaże ostatni przykład, który nie jest przekształceniem liniowym.
\(\displaystyle{ \varphi(x_1 + x_2 , y_1+y_2)= (x_1 + x_2 -2y_1 - 2y_2 , x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2+y_1+y_2) \varphi(x_1,y_1) + \varphi (x_2,y_2)}\)