Jak udowodnić, że przestrzenie wektorowe: \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{\mathbb{R}}}\)/\(\displaystyle{ V}\) (przestrzeń ilorazowa) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) są izomorficzne?
\(\displaystyle{ V=\{ f\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}:\quad f(1)=2f(2), f(2)=5f(3)\}}\)
Przestrzenie izomorficzne
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Przestrzenie izomorficzne
Rozważmy przekształcenie \(\displaystyle{ h: \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \mathbb{R}^2}\) dane wzorem:
\(\displaystyle{ h(f) = ft( f(1)-2f(2), f(2) - 5f(3)\right)}\)
Oczywiste jest (a jak nie jest, to proponuję sprawdzić w ramach ćwiczenia ), że:
-jest to przekształcenie liniowe;
-jest to przekształcenie "na";
-jądrem tego przekształcenia jest \(\displaystyle{ V}\).
Stąd, na mocy twierdzenia o izomorfizmie:
\(\displaystyle{ \mathbb{R}^{\mathbb{R}}/ V = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}/ ker \ h eq h(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}) = \mathbb{R}^2}\).
Pozdrawiam.
Qń.
\(\displaystyle{ h(f) = ft( f(1)-2f(2), f(2) - 5f(3)\right)}\)
Oczywiste jest (a jak nie jest, to proponuję sprawdzić w ramach ćwiczenia ), że:
-jest to przekształcenie liniowe;
-jest to przekształcenie "na";
-jądrem tego przekształcenia jest \(\displaystyle{ V}\).
Stąd, na mocy twierdzenia o izomorfizmie:
\(\displaystyle{ \mathbb{R}^{\mathbb{R}}/ V = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}/ ker \ h eq h(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}) = \mathbb{R}^2}\).
Pozdrawiam.
Qń.