Ker i Im przekształcenia

[redemptorek]

Mam problem z takim oto zad.:

Znaleźć jądro i obraz przekształcenia \(\displaystyle{ \phi: R_{4}[x] \to R^{4}}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ \phi^{-1}({(0,5,5,15)})}\).
\(\displaystyle{ M^{A}_{B}(\phi) = ft[\begin{array}{rrrrr}1&-2&1&2&-3\\0&1&2&-1&5\\1&-1&3&2&6\\2&-1&8&0&5\end{array}\right]}\)

Z góry dzięki!

[JankoS]

Wprawdzie nie wiem, co to znaczy \(\displaystyle{ R _{4} ft[x \right],}\) ale spróbuję pomoć.
Jądro
Mnożymy macierz przez dowolny wektor pięciowierszowy np. \(\displaystyle{ \vec{w} ft[\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\\e\end{array}\right]}\) i otrzymany wektor czterowierszowy przyrównuję do \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}\right].}\) Dostaję układ jednorodny czterech rówmań, który ma na pewno rozwiązanie (0,0,0,0,0), ale przypuszczam, że jest on nieoznaczony.
Obraz
Prawdopodbnie jest nim \(\displaystyle{ R ^{4}.}\) Aby to wykazać, jak porzednio mnożę macierz przez \(\displaystyle{ \vec{w}}\) i przyrównuję do dowolnego wektora \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x _{1} \\x _{2} \\x _{3} \\x _{4} \end{array}\right].}\). rozwiązuję układ równań względem \(\displaystyle{ a,b,c,d,e}\) i mam wektor (wektory), którego obrazem jest dowolny wektor z \(\displaystyle{ R ^{4}.}\)
Przeciwobraz
Mnoże macierz przez \(\displaystyle{ \vec{w}}\) i wynik przyrównuję do wektora (0,5,5,15) itd.
Zastanawiam się jeszcze nad tym \(\displaystyle{ R _{4} ft[x \right],}\). Jeżeli 4 oznacza wymiar, to jest coś nie tak. Z macierzy wynika, że jest nim 5.

[Lukasz_C747]

\(\displaystyle{ R _{4} ft[x \right],}\) to przestrzeń wielomianów czwartego stopnia w ciele liczb rzeczywistych, czyli wymiar jest 5.

[Rogal]

Jeśli to jest to, o czym myślę, to będzie to przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 4 o współczynnikach rzeczywistych.

[Qń]

co to znaczy \(\displaystyle{ R _{4} ft[x \right],}\)

Zapewne chodzi o przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej czwartego o współczynnikach rzeczywistych, z dodawaniem. Jest ona rzecz jasna izomorficzna z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^5}\).

Dostaję układ jednorodny czterech rówmań, który ma na pewno rozwiązanie (0,0,0,0,0), ale przypuszczam, że jest on nieoznaczony.

Bez żadnych rachunków można powiedzieć, że jest nieoznaczony, bo równań mniej niż niewiadomych. Ponieważ macierz ma rząd 3, więc wymiar jądra (czyli wymiar przestrzeni rozwiązań tego układu) będzie równy 2...

Obraz
Prawdopodbnie jest nim \(\displaystyle{ R ^{4}.}\)

...skąd wynika, że wymiar obrazu będzie równy 5-2 czyli 3. Na pewno więc to nie będzie całe \(\displaystyle{ \mathh{R}^4}\). Jak znaleźć ten obraz? Wystarczy znaleźć 3 wektory liniowo niezależne z bazą jądra (i między sobą) - obrazy tych wektorów będą bazą obrazu przekształcenia.

A co do przeciwobrazu wektora - można tak jak proponuje Janko, ale można i chwilę szybciej: wystarczy zapisać nasz wektor w bazie obrazu, a przeciwobrazy wektorów bazy znamy (to te 3 wektory, które przed chwilą znaleźliśmy).

Pozdrawiam.
Qń.

[redemptorek]

tak, \(\displaystyle{ R_{4}[x]}\) to przestrzen wielomianow stopnia co najwyzej czwartego o wsp. rzeczywistych

dzieki za pomoc

[camol]

sluchajcie nie rozumiem do konca tego punktu z szukanie obrazu bo przyrownuje to do tego wektora x1,x2,..... i tak dalej ale wychodzi mi uklad czterech rownan z tyloma nie wiadomymi ze nie wiem co przez co mam wyznaczyc czy moglby to ktos zrobic?

[redemptorek]

Hmmm, spróbuję pomóc...
Zaczynasz od znalezienia \(\displaystyle{ Ker(\phi)}\). Wynikiem jest zbiór kombinacji liniowych pewnych 2 wektorów. Następnie, by znaleźć \(\displaystyle{ Im(\phi)}\), należy do owych 2 wektorów bazy jądra dodać jeszcze 3 wektory liniowo niezależne. Trzy dlatego, że wyjściowa przestrzeń \(\displaystyle{ R_{4}[x]}\) jest 5-wymiarowa, a \(\displaystyle{ dim(Im(\phi))=dim(R_{4}[x])-dim(Ker(\phi))}\). Zbiór kombinacji liniowych obrazów tych 3 dodanych wektorów stanowi szukany \(\displaystyle{ Im(\phi)}\).
To chyba dobra metoda, ale nie daję gwarancji... może ktoś jeszcze sie wypowie...

[camol]

tak ja metode znam i czaje tylko mam problem z uzyciem tej podpowiedzi pierwszej osoby ktora pomogla w tym temacie mianowicie przyrownuje tak jak on mowi do tych x1 x2 itd ale nie wiem co powyznaczac z tych rownac tak zeby wyszly mi te trzy wektory chodzi mi o ten konkretny przypadek a nie o sama metode

[redemptorek]

Przy wyznaczaniu obrazu nie korzystałem z podp., o której piszesz...
Wydaje mi się, że nie ma sensu usilnie przyrównywać... Po pomnożeniu macierzy \(\displaystyle{ M_{B}^{A}(\phi)}\) przez wektor z \(\displaystyle{ R_{4}[x]}\), powiedzmy taki: \(\displaystyle{ v=[a,b,c,d,e]}\) otrzymuje się wektor - jeśli się nie pomylę - następujący:
\(\displaystyle{ \phi(v)=(a-2b+c+2d-3e; b+2c-d+5e; a-b+3c+2d+6e; 2a-b+8c+5e) = a(1,0,1,2)+b(-2,1,-1,-1)+c(1,2,3,8)+d(2,-1,2,0)+e(-3,5,6,5)}\), gdzie w iloczynach ze współczynnikami a, b, c, d i e znajdują się, jak łatwo zauważyć, kolumny macierzy \(\displaystyle{ M_{B}^{A}(\phi)}\). Wystarczy wybrać spośród nich 3 liniowo niezależne... Zbiór kombinacji liniowych tych kolumn (wektorów) stanowi właśnie \(\displaystyle{ Im(\phi)}\). (?)

PS: Czy przypadkiem nie z makro PW mam sprawę?

[camol]

a zgadza sie i dzieki za pomoc

[ Dodano: 19 Stycznia 2008, 15:17 ]
ale jednak jak zabrac sie do tego fi do -1 ???i jaki wtedy bedzie wynik?

[JankoS]

Po pomnożeniu macierzy \(\displaystyle{ M_{B}^{A}(\phi)}\) przez wektor z \(\displaystyle{ R_{4}[x]}\), powiedzmy taki: \(\displaystyle{ v=[a,b,c,d,e]}\) otrzymuje się wektor - jeśli się nie pomylę - następujący:
\(\displaystyle{ \phi(v)=(a-2b+c+2d-3e; b+2c-d+5e; a-b+3c+2d+6e; 2a-b+8c+5e) = a(1,0,1,2)+b(-2,1,-1,-1)+c(1,2,3,8)+d(2,-1,2,0)+e(-3,5,6,5)}\),.

Stąd
\(\displaystyle{ a-2b+c+2d-3e=0\\ b+2c-d+5e=5\\ a-b+3c+2d+6e=5\\ 2a-b+8c+5e=15}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&-2&1&2&-3&0\\0&1&2&-1&5&5\\1&-1&3&2&6&5\\2&-1&8&0&5&15\end{array}\right],}\) która jest równoważna macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&-2&1&2&-3&0\\0&1&2&-1&5&5\\0&0&0&1&4&0\end{array}\right],}\) i dalej
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}d+4e=0\\b+2c-d+5e=5\\a-2b+c+2d-3e=0 \end{array}}\)
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Ja wybrałem sobie tak, że
\(\displaystyle{ \phi ^{-1}(0,5,5,15)=(10-5\gamma-7\varepsilon,5-2\gamma-9\varepsilon,\gamma,-4\varepsilon,\varepsilon),}\) gdzie\(\displaystyle{ \gamma, \varepsilon R.}\)
I tylko mam nadzieję, że się nigdzie nei pomyliłem.

[Skynet]

Jakich operacji wierszowych użyłeś przekształcając tę macierz, bo nie mogę się ich doszukać.

[JankoS]

Ha. Żebym pamiętał ?
I krok: \(\displaystyle{ -1 I+III, -2 I+IV}\)
II krok: \(\displaystyle{ -1 II+III, -3 II+IV}\)
IIIkrok: IV = -III, więc jeden z nich mogę wyrzucić.