Dana jest macierz przekształcenia \(\displaystyle{ A\varphi=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\-2&1\end{array}\right]}\). Wyznaczyć wartości i wektory własne przekształcenia.
Jak zrobić to zadanie ??
Wartosci i wektory wlasne przeksztalcenia
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Wartosci i wektory wlasne przeksztalcenia
nie pozostaje Ci nic innego jak wyznaczenie wektorow wlasnych macierzy \(\displaystyle{ A_\varphi}\)
Policz sobie najpierw wielomian charakterystyczny macierzy:
\(\displaystyle{ \det(A_\varphi-\lambda I)}\)
Stad otrzymamy macierz:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc} 1-\lambda & 0 \\-2 &1-\lambda\end{array}\right|=(1-\lambda)^2}\)
Wartosciami wlasnymi nazywami pierwiastki wielomianu charakterystyczny, czyli dla naszego przypadku:
\(\displaystyle{ (1-\lambda)^2=0 \\\lambda=1}\)
Wektor wlasny jest to taki wektor \(\displaystyle{ \vec{x}}\), ktory mozna zapisac w postaci:
\(\displaystyle{ A_\varphi\cdot \vec{x}=\lambda \vec{x}}\)
Oczywistym jest ze dla naszego przypadku wektor \(\displaystyle{ \vec{x}}\) ma skladowe \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\)
Wowczas nasz warunek mozemy zapisac w postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\-2&1\end{array}\right]\cdot ft[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]=\lambda ft[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda x_1\\\lambda x_2\end{array}\right]}\)
Dostajemy dla \(\displaystyle{ \lambda=1}\) uklad, ktory nalezy rozwiazac, otrzymamy wartosci \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) ktore beda skladowymi wektora \(\displaystyle{ \vec{x}}\)
Policz sobie najpierw wielomian charakterystyczny macierzy:
\(\displaystyle{ \det(A_\varphi-\lambda I)}\)
Stad otrzymamy macierz:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc} 1-\lambda & 0 \\-2 &1-\lambda\end{array}\right|=(1-\lambda)^2}\)
Wartosciami wlasnymi nazywami pierwiastki wielomianu charakterystyczny, czyli dla naszego przypadku:
\(\displaystyle{ (1-\lambda)^2=0 \\\lambda=1}\)
Wektor wlasny jest to taki wektor \(\displaystyle{ \vec{x}}\), ktory mozna zapisac w postaci:
\(\displaystyle{ A_\varphi\cdot \vec{x}=\lambda \vec{x}}\)
Oczywistym jest ze dla naszego przypadku wektor \(\displaystyle{ \vec{x}}\) ma skladowe \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\)
Wowczas nasz warunek mozemy zapisac w postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\-2&1\end{array}\right]\cdot ft[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]=\lambda ft[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda x_1\\\lambda x_2\end{array}\right]}\)
Dostajemy dla \(\displaystyle{ \lambda=1}\) uklad, ktory nalezy rozwiazac, otrzymamy wartosci \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) ktore beda skladowymi wektora \(\displaystyle{ \vec{x}}\)