Liniowa niezależność wektorów.

[unikat900]

Analizuję liniową niezależność wektorów i natrafiłem na następujące zadanie. Co oznacza, że przestrzeń ma wymiar większy, niż ilość danych wektorów. Gdy wymiar przestrzeni jest równy ilości wektorów, to tworzymy macierz i jeżeli wszystkie współczynniki równają się zero wnioskujemy, że wektory są liniowo niezależne. Nie wiem jak ułożyć macierz w takiej sytuacji. Wypełnić dwie pozostałe kolumny zerami??
Zadanie)
Zbadaj liniową niezależność wektorów:
\(\displaystyle{ R^5, d_1=(1,2,3,4,5), d_2=(5,4,3,2,1), d_3=(1,0,1,0,1)}\)

[Lukasz_C747]

Nie, liczysz po prostu rząd macierzy. Jeśli jest równy ilości wektorów to są one liniowo niezależne, jeśli mniejszy to są liniowo zależne.
Zwykle tworzysz kombinacje liniową sprawdzanych wektorów i przyrównujesz do zera. Jeśli jedynym rozwiązanie są wszystkie współczynniki równe zeru, to wektory są liniowo niezależne.
Można jednak zapisań równanie w postaci macierzowej. I to co napisałem na początku wynika z rozwiązywania takiego układu w tej postaci. Ponieważ przyrównywaliśmy do zera, to macierz współczynników zawsze będzie równa macierzy rozszerzonej. Zatem, jeśli rząd będzie równy liczbie wektorów to otrzymamy dokładnie jedno rozwiązanie - zerowe. Jeśli mniejszy, to otrzymamy nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego z wektorów - czyli liniową zależność.

[hamunaptra]

Mam taki przykład ale moim zdaniem jest w nim błąd. Rozwiązałem po swojemu i proszę o sprawdzenie:

Sprawdź liniową niezależność wektorów:

\(\displaystyle{ \left[ 3,-1,2\right] , \left[ 2,1,0\right], \left[ 6,3,0\right]


x\left[ 3,-1,2\right] , y\left[ 2,1,0\right], z\left[ 6,3,0\right]


\begin{cases} 3x+2y+6z=0 \\ -x+y+3z=0 \\ 2x=0\end{cases}

\begin{cases} 2y+6z=0 /:2 \\ y+3z=0 \\ x=0\end{cases}

\begin{cases} y+3z=0 \\ y+3z=0 \\ x=0\end{cases}

\begin{cases} y=-3z \\ 3z=-y :/3 \\ x=0\end{cases}

\begin{cases} y=-3z \\ z=-y/3 \\ x=0\end{cases}

\begin{cases} y=-3(-y/3) \\ z=-y/3 \\ x=0\end{cases}

\begin{cases} y=y \\ z=-y/3 \\ x=0\end{cases}}\)

Czy coś policzyłem źle i dlatego tak dziwnie wyszło? Skoro nie wyszły zera to jest to układ liniowo zależny?