Przestrzeń liniowa - pierwszy typ zadań

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
unikat900
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 10 lis 2007, o 09:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 5 razy

Przestrzeń liniowa - pierwszy typ zadań

Post autor: unikat900 »

Uff.. koniec z macierzami. Zaczynam teraz uczyć się przestrzeni liniowych i już na początku tego najtrudniejszego dla mnie działu napotykam trudności ;(. Proszę o pomoc: jak rozwiązać takie trzy zadanka krok po kroku:
Zadanie:
Sprawdź czy podane zbiory są podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni:
a) \(\displaystyle{ A=\{(x, y)\in{R^2:} \ xy qslant 0\}, \ R^2;}\)
b) \(\displaystyle{ B=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in{R^4:} \ x_1=0, x_2=x_3, x_5=0\}, \ R^5;}\)
c) \(\displaystyle{ A=\{(x, y, z)\in{R^2:} \ x-2y=0, y-3z=0, z-4x=0\}, \ R^3;}\)
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Przestrzeń liniowa - pierwszy typ zadań

Post autor: kuch2r »

nad jakim cialem rozwazamy te nasze przestrzenie ??
unikat900
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 10 lis 2007, o 09:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 5 razy

Przestrzeń liniowa - pierwszy typ zadań

Post autor: unikat900 »

Po przecinku podałem nad jakimi ciałami. W pierwszym wypadku R^2, w drugim R^5, a w trzecim R^3. Chyba o to chodzi.
micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

Przestrzeń liniowa - pierwszy typ zadań

Post autor: micholak »

a) nie, wez dowolny wektor ze zbioru przemnoz przez (-1)

reszta.. latwo mozna pokazac zbior rozwiazan jednorodnego ukladu rownan liniowych jest podprzestrzenia
unikat900
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 10 lis 2007, o 09:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 5 razy

Przestrzeń liniowa - pierwszy typ zadań

Post autor: unikat900 »

No i własnie chodzi mi, żeby to pokazać. Jestem póki co w tym temacie zielony i chcę się czegoś nauczyć. Myślę, że jak zobaczę jak to robić, będę trochę mądrzejszy... Proszę...
micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

Przestrzeń liniowa - pierwszy typ zadań

Post autor: micholak »

ok czyli niech
\(\displaystyle{ AX=0}\)
oraz
\(\displaystyle{ AY=0}\)

wowczas
\(\displaystyle{ A(aX+bY)=A(aX)+A(bY)=a(AX)+b(AY)=a0+b0=0}\)
unikat900
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 10 lis 2007, o 09:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 5 razy

Przestrzeń liniowa - pierwszy typ zadań

Post autor: unikat900 »

Skoro po prawej stronie równania otrzymaliśmy w końcu zero, to znaczy, że ten zbiór jest podprzestrzenia R^2? Co właściwie należy udowodnić przy liczeniu tgo typu zadań? Nie chcę nadużywać życzliwości forumowiczów, ale jeśli ktoś wie jak i ma siły, to będę ogromnie wdzięczny za rozwiązanie podpunktu b i c.
Kobcio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 10 lut 2007, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziądz
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

Przestrzeń liniowa - pierwszy typ zadań

Post autor: Kobcio »

a) Nie jest, ponieważ: weź np. wektory (4,1) i (-2,-2), oba spełniają warunek i należą do A, ale gdy je dodasz otrzymasz (2,-1), który już nie spełnia warunku \(\displaystyle{ xy qslant 0}\), a więc całe A nie jest podprzestrzenią liniową, bo kombinacja liniowa jej dwóch elementów nie należy do niej.

b) warunek jest taki, że wystarczy chwilę pomyśleć i widać, iż każda kombinacja linowa dwóch wektorów go spełniających też go spełnia, bo \(\displaystyle{ x_{1}}\) zawsze jest zero, a suma zer jest zerem, tak samo \(\displaystyle{ x_{5}}\), \(\displaystyle{ x_{2}}\) i \(\displaystyle{ x_{3}}\) , są sobie równie, więc dodanie do każdego równej wartości nie zmienia tego i nadal są sobie równe, a \(\displaystyle{ x_{4}}\) nie ma warunku i może być dowolne.

c) jak policzysz ten układ równań liniowych stanowiący warunek zauważysz, że spełnia go tylko trójka (0,0,0), a dodawanie jej do siebie, daje w rezultacie nią samą, więc dalej pozostaje w ramach swojej przestrzeni.

Z warunków wynika też, że odpowiednie zbiory są podzbiorami przestrzeni wobec, których sprawdzamy, więc ten warunek jest spełniony z definicji.
unikat900
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 10 lis 2007, o 09:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 5 razy

Przestrzeń liniowa - pierwszy typ zadań

Post autor: unikat900 »

Tok rozumowania zaczynam rozumiec. Przeglądałem już różne tematy o przestrzeniach liniowych i wiem, że kuch2r jest specem w tej dziedzinie. Jeżeli zajrzysz jeszcze raz na te stronke, rzuć proszę swoim fachowym okiem na te zadanka i zapisz proszę rozwiązania tak jak to robiłeś w innych tematach. KUCH2R.
ODPOWIEDZ