Będę ogromnie wdzięczny każdemu, kto choć trochę przybliży mi sposób rozwiązania następującego typu zadań:
Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej stopnia n spełniającej podane
warunki:
a) \(\displaystyle{ A^3=4A}\) dla n=3,4;
b)\(\displaystyle{ A^T=-A^2}\) dla n=3,4;
Wyznacznik macierzy.
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Wyznacznik macierzy.
Rozwazmy:
\(\displaystyle{ A^3=4A}\) dla dowolnej macierzy kwadratowej stopnia \(\displaystyle{ n}\)
Na mocy twierdzenie Cauchy'ego mamy:
\(\displaystyle{ \det{A^3}=(\det{A})^3\\\det{(4A)}=4^n\cdot \det{A}}\)
Zatem otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (\det A)^3=4^n \cdot \det{A}}\)
Dla \(\displaystyle{ \det A\neq 0}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ (\det{A})^2=4^n}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \det{A}=\pm 2^{n}}\)
Rowniez \(\displaystyle{ \det{A}=0}\) spelnia nasze wyjsciowe rownanie.
Co do drugiego przypadu:
Wykorzystaj fakt, ze:
\(\displaystyle{ \det{A^T}=\det{A}}\)
\(\displaystyle{ A^3=4A}\) dla dowolnej macierzy kwadratowej stopnia \(\displaystyle{ n}\)
Na mocy twierdzenie Cauchy'ego mamy:
\(\displaystyle{ \det{A^3}=(\det{A})^3\\\det{(4A)}=4^n\cdot \det{A}}\)
Zatem otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (\det A)^3=4^n \cdot \det{A}}\)
Dla \(\displaystyle{ \det A\neq 0}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ (\det{A})^2=4^n}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \det{A}=\pm 2^{n}}\)
Rowniez \(\displaystyle{ \det{A}=0}\) spelnia nasze wyjsciowe rownanie.
Co do drugiego przypadu:
Wykorzystaj fakt, ze:
\(\displaystyle{ \det{A^T}=\det{A}}\)