Wyznacznik macierzy.

[unikat900]

Będę ogromnie wdzięczny każdemu, kto choć trochę przybliży mi sposób rozwiązania następującego typu zadań:

Jakie są możliwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej stopnia n spełniającej podane
warunki:
a) \(\displaystyle{ A^3=4A}\) dla n=3,4;
b)\(\displaystyle{ A^T=-A^2}\) dla n=3,4;

[kuch2r]

Skorzystaj w tym przypadku z twierdzenie Cauchy'ego dla macierzy
\(\displaystyle{ \det{(AB)}=\det{A}\cdot \det{B}}\)

[unikat900]

Poproszę o rozpisanie tego od początku do końca. Dzięki temu zrozumiem metodę.

[kuch2r]

Rozwazmy:
\(\displaystyle{ A^3=4A}\) dla dowolnej macierzy kwadratowej stopnia \(\displaystyle{ n}\)
Na mocy twierdzenie Cauchy'ego mamy:
\(\displaystyle{ \det{A^3}=(\det{A})^3\\\det{(4A)}=4^n\cdot \det{A}}\)
Zatem otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (\det A)^3=4^n \cdot \det{A}}\)
Dla \(\displaystyle{ \det A\neq 0}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ (\det{A})^2=4^n}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \det{A}=\pm 2^{n}}\)

Rowniez \(\displaystyle{ \det{A}=0}\) spelnia nasze wyjsciowe rownanie.

Co do drugiego przypadu:
Wykorzystaj fakt, ze:
\(\displaystyle{ \det{A^T}=\det{A}}\)