odwzorowanie

luqasz · Post autor: **luqasz** » 28 gru 2007, o 15:14

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2x+3 \ dla \x \epsilon R \ i \ x -1 \ i \ x \ 0 \\ 3 \ dla \ x \ -1\\ 1 \ dla \ x=0\end{cases}}\)

sprawdz czy f jest surjekcją iniekcją jesli tak wyznacz \(\displaystyle{ f ^{-1}}\)

prosze o jakies wskazówki

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 28 gru 2007, o 16:01

surjekcja to jest funkcja "na", a iniekcja to funkcja różnowartościowa.

W suriekcji każdemu elementowi przeciwdziedziny odpowiada co najmniej jeden element dziedziny

Funkcja \(\displaystyle{ f\colon X \to Y}\) odwzorowuje zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru Y jest wartością funkcji w pewnym punkcie. Za pomocą notacji logicznej zapisuje się to jako:

\(\displaystyle{ \forall\limits_{y Y}\;\quad \exists\limits_{x X}\;\quad f(x) = y}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f : X \to Y}\) jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \forall\limits_{x_1,x_2\in X}\;\quad x_1 \ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2)}\)

luqasz · Post autor: **luqasz** » 28 gru 2007, o 17:36

Hania_87 a mozesz mi to rozwiazac dla przykładu

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 28 gru 2007, o 19:20

funkcja różowartościowa
hip.
\(\displaystyle{ \exists_{x_{1}.x_{2}} x_1 x_2 f(x_1)=f)(x_2)}\)
przypadki:
1)
\(\displaystyle{ 2x_1+3=2x_2+3\quad\quad x_{1},x_{2} R \backslask \{-1,0\}\\ 2(x_1-x_2)=0\\(x_1-x_2)=0\\x_1=x_2}\)
sprzeczność
2) \(\displaystyle{ x_1=-1\quad\quad x_2 R \backslask \{-1,0\}\\ 3=2x_2+3\\2x_2=0\\x_2=0}\)
sprzeczność
3) \(\displaystyle{ x_1=0 \quad\quad x_2 R \backslask \{-1,0\}\\1=2x_2+3\\-2=2x_2\\x_2=-1}\)
sprzeczność
4) \(\displaystyle{ x__1=-1 \quad\quad x_2=0}\)
\(\displaystyle{ 3=1}\)
sprzeczność

Odpowiedź: jest to funkcja różnowartościowa

funkcja "na"
\(\displaystyle{ y=2x+3\\ y-3=2x\\ x= \frac{y-3}{2}}\)
Dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in R \backslask \{-1,0\}}\) weźmy \(\displaystyle{ x= \frac{y-3}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2x+3=2(\frac{y-3}{2})+3=y}\)
ok

analogicznie następne przypadki

Odpowiedź: jest to funkcja "na"

Terazj przejdźmy do \(\displaystyle{ f^{-1}}\)
\(\displaystyle{ f^{-1}= \begin{cases} \frac{x-3}{2}, \quad y\in R \backslask \{1,3\} \\ -1 , \quad y=3 \\ 0, \quad y=1 \end{cases}}\)

(w kwestji wyjaśnienia funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}}\) korzystamy z obliczeń funkcji "na" i zamienami miejscami \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ y}\); weźmy na przykład to \(\displaystyle{ x= \frac{y-3}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest \(\displaystyle{ y= \frac{x-3}{2}}\), a to do czego należy y najlepiej odczytać z wykresu, bo to nie jest skąplikowana funkcja do narysowania)

luqasz · Post autor: **luqasz** » 28 gru 2007, o 20:26

w różnowartości w 2 przypadku x1 powino wynosic 0 dla tych przekształcen ponizej a w 3 przypadku -1 nie rozume tego dlaczego trzeba rozwarzac 3 przypadki nie wystarczy tlylko 1 i dlaczego jesli wszyskie sa sprzeczne to funkcja jest różnowartościowa
i jkie przypadki tzeba jeszcze rozwarzyc w funkcja "na"
moze mi to ktos wytłumaczyc

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 28 gru 2007, o 23:47

Pokazujemy, że jest różnowartościowa nie wprost (napisałam hip. i zaprzeczyłam definicji) gdy dochodzimy do sprzeczności, to oznacza, że nasza hipoteza (hip.) była mylna, tak najłatwiej się dowodzi(nie wprost tzn po przez hipotezę).

Trochę poprzesuwały się przypadki, każdy przypadek zaczyna się w następnej linijce do słowie sprzeczność.

Popatrz na Twoje zadanko (na klamerkę)

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2x+3 \ dla x R \ i \ x -1 \ i \ x \ 0 \\ 3 \ dla \ x =\ -1\\ 1 \ dla \ x=0\end{cases}}\)

przypadek drugi:
\(\displaystyle{ x_1=-1}\) ,więc \(\displaystyle{ f(x_1)=3}\)
a \(\displaystyle{ x_2 R \beckslash \{-1;0 \}}\) ,więc \(\displaystyle{ f(x_2)=2x+3}\)

Te niektóre przypadki są takie śmieszne, że zaraz widać, że jest różnowartościowe, ale, żeby rozwiązać zadanie w całości, to trzeba napisać wszystkie przypadki, tak naprawdę brakuje mi jeszcze następnych przypadków na funkcję różnowartościową, np następne przypadki to \(\displaystyle{ x_1=x_2=0}\) więc \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)=1}\) a na początku założyliśmy, że \(\displaystyle{ x_1 x_2}\) więc jest sprzeczność z założeniem

A w funkcji "na" w sumie nie trzeba rozważać więcej przypadków.

Qń · Post autor: Qń » 29 gru 2007, o 00:02

Nie mam siły przebijać się przez proponowane rozwiązanie, ale bez czytania mogę powiedzieć: jest przegadane .

By wykazać różnowartościowość, musimy po prostu sprawdzić, że nasza funkcja nie przyjmuje żadnej wartości dwa razy. Oczywiste jest, że nasza funkcja przyjmuje wartość 3 dokładnie raz, wartość 1 też dokładnie raz, a pozostałe wartości co najwyżej raz - więc już wiemy, że jest różnowartościowa. A ponieważ pozostałe wartości również przyjmuje dokładnie raz (bo to prosta, tyle, że z wyciętymi dwoma punktami), więc jest także "na".

A jeszcze szybciej jest po prostu narysować wykres i z niego wszystko jest oczywiste.

Wzór na funkcję odwrotną natomiast się zgadza, tylko zgubił się w się tam znak "".

Pozdrawiam.
Qń.

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 29 gru 2007, o 13:18

\(\displaystyle{ f^{-1}= \begin{cases} \frac{x-3}{2}, \quad y\in R \backslask \backslash
\{1,3\} \\ -1 , \quad y=3 \\ 0, \quad y=1 \end{cases}}\)

Teraz już jest ok.

To akurat prosta funkcja, ale pokazałam jak powinno się rozwiązać kompleksowo.
Łatwo jest odczytać z wykresu i gitara. Trzeba jednak umieć to policzyć. Przy bardziej skąplikowanej funkcji, trzeba rozpatrzeć wszystkie przypadki.