projekcja i linie

[kawafis44]

8. Pokaż, że A(3,0,2), B(4,3,0) i C(8,1,-1) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. W którym wierzchołku jest kąt prosty?
9. Znajdź projekcję prostopadłą (orthogonal projection) początku układu na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi:-x+y+z=1}\).
10. Ustal, czy linie l1 i l2 są przecięte, równoległe czy równe sobie.
\(\displaystyle{ l_1: ft\{\begin{array}{l} x=1+2t\\y=1+3t\\z=1+4t \end{array}}\)
\(\displaystyle{ l_2: \frac{x-1}{-2} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z-1}{-4}}\)

pozdro i dzięki z góry za pomoc!
do siego !

[andkom]

8.
Wierzchołek A:
Wektor AB ma współrzędne (1,3,-2)
Wektor AC ma współrzędne (5,1,-3)
Iloczyn skalarny tech wektorów 1*5+3*1+(-2)*(-3)=14 jest różny od 0, więc wektory nie są prostopadłe.

Wierzchołek B:
Wektor BC ma współrzędne (4,-2,-1)
Wektor BA ma współrzędne (-1,-3,2)
Iloczyn skalarny tech wektorów 4*(-1)+(-2)*(-3)+(-1)*2=0, więc wektory są prostopadłe.

Trójkąt ABC jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku B

9.
Wektor normalny do naszej płaszczyzny to wektor (-1,1,1) (odczytane z równania)
Prosta przechodząca przez (0,0,0) i prostopadła do naszej płaszczyzny ma zatem równanie parametryczne
(x,y,z)=t(-1,1,1), czyli
x=-t, y=t, z=t.
Szukany punkt to punkt wspólny tej prostej i naszej płaszczyzny. Mamy zatem
-x+y+z=1
x=-t, y=t, z=t.
Stąd
3t=1, t=1/3, a zatem szukany rzut ma współrzędne
\(\displaystyle{ \left(-\frac13,\frac13,\frac13\right)}\)

10.
Są równe sobie, bo mamy do czynienia z dwoma równaniami (w różnych postaciach) tej samej prostej.
Jak to pokazać? Na przykład powyliczać w przypadku równania parametrycznego t z każdego równania i przyrównać uzyskane wyniki (a potem pomnożyć stronami przez -1)

[kawafis44]

ad9) dlaczego szukamy równania prostej przechodzącej przez punkt (0,0,0) i prostopadłej do płaszczyzny, skoro szukamy rzutu prostopadłego punktu (0,0,0) na płaszczyznę?
pozdro!

[Emiel Regis]

Rzutujesz punkt prostopadle na płaszczyznę, czyli wzdłuż prostej prostopadłej do płaszczyzny i przechodzącej przez nasz punkt, zatem owym rzutem będzie przecięcie rzeczonej prostej z płaszczyzną.