Baza i wymiar przestrzeni

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
pitterb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 5 kwie 2007, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wola
Podziękował: 10 razy

Baza i wymiar przestrzeni

Post autor: pitterb »

Chcę się tylko upewnić, czy dobrze rozumuję:

A więc mam znaleźc bazę i wymiar tak zdefiniwanej przestrzeni:

\(\displaystyle{ V= \{ W\in R_{4}[x] : W(2x)=4x\cdot W'(x)+W(0) \}}\)

Dowolny wielomian st. czwartego ma postać: \(\displaystyle{ ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}\)

Rozwiązujemy podaną zależność i doszedłem do takiej postaci:

\(\displaystyle{ 2bx^{3}+2cx^{2}+dx=0}\)

Wyliczam dx (to nie jest różniczka ) i wstawiam do postaci ogólnej i wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ ax^{4}-bx^{3}-cx^{2}+e}\)

A więc bazą będzie:

\(\displaystyle{ B=\{x^{4}, -x^{3}, -x^{2}, 1\}}\)

A wymiar:
\(\displaystyle{ dimV=4}\)

Dobrze?
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Baza i wymiar przestrzeni

Post autor: Emiel Regis »

Tak samo mi wyszło. Nawet jest to zgodne z intuicją bo mamy jedno równanie wiążace współrzędne w przestrzeni wielomianów czyli mozna przypuszczać że wymiar nam się zmniejszy o jeden.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Baza i wymiar przestrzeni

Post autor: »

Źle!
pitterb pisze: \(\displaystyle{ 2bx^{3}+2cx^{2}+dx=0}\)
Tak, ale to jest równość wielomianów, wynika więc z niej, że \(\displaystyle{ b=c=d=0}\), czyli jedynymi wielomianami spełniającymi wyjściowy warunek są wielomiany postaci \(\displaystyle{ ax^4+e}\). Wymiar ich przestrzeni to oczywiście 2.
Drizzt pisze:Nawet jest to zgodne z intuicją bo mamy jedno równanie wiążace współrzędne w przestrzeni wielomianów czyli mozna przypuszczać że wymiar nam się zmniejszy o jeden.
A co Twoja intuicja mówi o przestrzeni: \(\displaystyle{ V= \{ W\in R_{4}[x] : W(x)=0 \}}\)? Jedno równanie, więc jej wymiar powinien być równy 4?

Pozdrawiam.
Qń.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Baza i wymiar przestrzeni

Post autor: Emiel Regis »


heh, bzdure napisałem. Dziękuje za poprawienie.
ODPOWIEDZ