Niech dimX = n i niech \(\displaystyle{ e_{1}}\),......,\(\displaystyle{ e_{n}}\) będzie jej bazą. Dla danego ciągu wektorów \(\displaystyle{ y_{1}}\),......,\(\displaystyle{ y_{n}}\) z przestrzeni wektorowej Y niech f : X \(\displaystyle{ \to}\) Y będzie takim odwzorowaniem liniowym, że f(\(\displaystyle{ e_{i}}\)) = \(\displaystyle{ y_{i}}\) dla i = 1,.....,n. Dowieść, że zachodzą następujące równoważności:
Odwzorowanie f jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ y_{1}}\),......,\(\displaystyle{ y_{n}}\) generują przestrzeń Y.
poprostu nie mam pojęcia co z tym zrobić
ps. przepraszam za troche koślawy latex
Odwzorowanie liniowe - dowód
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Odwzorowanie liniowe - dowód
Jak się nie ma pojęcia co zrobić, to najlepiej rozpisać z definicji .
"\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)"
Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na". Znaczy to, że dla dowolnego \(\displaystyle{ y Y}\) istnieje taki \(\displaystyle{ x X}\), że \(\displaystyle{ f(x)=y}\) (niekoniecznie jeden - jeśli jest więcej takich x-ów, weźmy którykolwiek). Wiadomo też, że istnieją takie \(\displaystyle{ a_i}\), że \(\displaystyle{ x=a_1e_1+a_2e_2+ \ldots + a_ne_n}\). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ y=f(x)=f(a_1e_1+a_2e_2+ \ldots + a_ne_n)= \\ =a_1f(e_1)+a_2f(e_2)+ \ldots + a_nf(e_n) = a_1y_1+a_2y_2+ \ldots + a_ny_n}\)
Pokazaliśmy więc, że dowolny \(\displaystyle{ y Y}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ y_i}\) a to znaczy dokładnie tyle, że te wektory rozpinają, czy też jak kto woli - generują całą przestrzeń\(\displaystyle{ Y}\).
"\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)"
Załóżmy teraz, że wektory \(\displaystyle{ y_i}\) generują całe \(\displaystyle{ Y}\). Oznacza to, że dla dowolnego \(\displaystyle{ y Y}\) istnieją takie \(\displaystyle{ b_i}\), że \(\displaystyle{ y=b_1y_1+b_2y_2+ \ldots + b_ny_n}\). Żeby pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na", musimy dla takiego dowolnego \(\displaystyle{ y}\) wskazać \(\displaystyle{ x}\) takie, by \(\displaystyle{ f(x)=y}\). Jako proste ćwiczenie pozostawiam sprawdzenie, że takim "dobrym" \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ x=b_1e_1+b_2e_2+ \ldots + b_ne_n}\) (rachunek analogiczny jak poprzednio). Kończy to dowód.
Pozdrawiam.
Qń.
"\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)"
Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na". Znaczy to, że dla dowolnego \(\displaystyle{ y Y}\) istnieje taki \(\displaystyle{ x X}\), że \(\displaystyle{ f(x)=y}\) (niekoniecznie jeden - jeśli jest więcej takich x-ów, weźmy którykolwiek). Wiadomo też, że istnieją takie \(\displaystyle{ a_i}\), że \(\displaystyle{ x=a_1e_1+a_2e_2+ \ldots + a_ne_n}\). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ y=f(x)=f(a_1e_1+a_2e_2+ \ldots + a_ne_n)= \\ =a_1f(e_1)+a_2f(e_2)+ \ldots + a_nf(e_n) = a_1y_1+a_2y_2+ \ldots + a_ny_n}\)
Pokazaliśmy więc, że dowolny \(\displaystyle{ y Y}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ y_i}\) a to znaczy dokładnie tyle, że te wektory rozpinają, czy też jak kto woli - generują całą przestrzeń\(\displaystyle{ Y}\).
"\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)"
Załóżmy teraz, że wektory \(\displaystyle{ y_i}\) generują całe \(\displaystyle{ Y}\). Oznacza to, że dla dowolnego \(\displaystyle{ y Y}\) istnieją takie \(\displaystyle{ b_i}\), że \(\displaystyle{ y=b_1y_1+b_2y_2+ \ldots + b_ny_n}\). Żeby pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na", musimy dla takiego dowolnego \(\displaystyle{ y}\) wskazać \(\displaystyle{ x}\) takie, by \(\displaystyle{ f(x)=y}\). Jako proste ćwiczenie pozostawiam sprawdzenie, że takim "dobrym" \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ x=b_1e_1+b_2e_2+ \ldots + b_ne_n}\) (rachunek analogiczny jak poprzednio). Kończy to dowód.
Pozdrawiam.
Qń.