Postać kanoniczna, mały problem

[5artos]

Witam
Robie zadanka z doprowadzenia do postaci kanonicznej i mam taką mała niewiadomą:

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&1&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)

wartości własne wyliczam:
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=2 \\ \lambda_{2}=-1 \\ \lambda_{3}=3}\)
następnie licze dla np.:
\(\displaystyle{ \lambda_{3}}\)
\(\displaystyle{ X_{\lambda_{3}}=t\left[\begin{array}{ccc}1\\1\\0\end{array}\right]}\)
i teraz nie wiem jak obliczyć te wektory własne jednostkowe lub tez wersory własne który wychodza w tym przypadku:
\(\displaystyle{ W_{\lambda_{3}}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{array}\right]}\)

z góry dzieki za wyjaśnienie tego

[King James]

ja zrobiłbym to tak, najpierw szukamy wektorów własnych np. dla \(\displaystyle{ \lambda_{3}}\) w tym celu rozwiązujemy układ jednorodny macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda_{3}&2&0\\2&1-\lambda_{3}&0\\0&0&2-\lambda_{3}\end{array}\right]
ft[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)

wówczas mamy wektory własne postaci \(\displaystyle{ \alpha=[t,t,0]}\), a wersor \(\displaystyle{ \beta}\) wyznaczamy następująco:
\(\displaystyle{ \beta=\frac{\alpha}{||\alpha||}}\), \(\displaystyle{ \beta=[\frac{t}{t\sqrt2},\frac{t}{t\sqrt2},\frac{0}{t\sqrt2}]}\), \(\displaystyle{ \beta=[\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2},0]}\)

oczywiście \(\displaystyle{ \alpha}\) nie może być zerowy, czyli zrobiłem tak jak ty i wersor identyczny, pozdro

[5artos]

Wielkie dzięki naprawde pomogłeś mi