Wyznaczyć wierzchołek D w równoległoboku

kws · Post autor: **kws** » 23 gru 2007, o 21:13

W równoległoboku ABCD dane są kolejne wierzchołki
\(\displaystyle{ A = ft(1,0,0\right), B = ft(2,1,3\right), C = ft(1,5,-2\right).}\) Wyznaczyć wierzchołek \(\displaystyle{ D}\). Obliczyć cosinus kąta między przekątnymi.
\(\displaystyle{ D}\) mi wychodzi \(\displaystyle{ \left(-4,0,17\right)}\). Jak obliczyć cosinus?

Szemek · Post autor: **Szemek** » 23 gru 2007, o 22:37

Nigdy takiego zadania jeszcze nie rozwiązywałem, ale myślę że rozwiązuje się je podobnie jak w w dwóch wymiarach . Jeśli zrobiłem błąd, to będę wdzięczny za poprawę.

Niech punkt S będzie punktem przecięcia przekątnych.
Przekątne w równoległoboku dzielą się na połowy.
\(\displaystyle{ S=(\frac{x_a+x_c}{2},\frac{y_a+y_c}{2},\frac{z_a+z_c}{2})}\)
\(\displaystyle{ S=(1,\frac{5}{2},-1)}\)
\(\displaystyle{ S=(\frac{x_b+x_d}{2},\frac{y_b+y_d}{2},\frac{z_b+z_d}{2})}\)
\(\displaystyle{ 1=\frac{2+x_d}{2} \iff x_d=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{2}=\frac{1+y_d}{2} \iff y_d=4}\)
\(\displaystyle{ -1=\frac{3+z_d}{2} \iff z_d=-5}\)
\(\displaystyle{ D(0,4,-5)}\)

kws · Post autor: **kws** » 24 gru 2007, o 15:29

Czyli wychodzi na to że źle obliczyłem \(\displaystyle{ D ?}\)
Ja liczyłem z zależności liniowej wektorów. Najpierw policzyłem wektory \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{CD}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB} = [1,1,3]}\), \(\displaystyle{ \vec{CD} = [x-1,y-5,z+2]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB} || \vec{CD} ft|\begin{array}{ccc}1&1\\x-1&y-5\end{array}\right| = ft|\begin{array}{ccc}1&3\\y-5&z+2\end{array}\right| =
ft|\begin{array}{ccc}1&3\\x-1&z+2\end{array}\right| = 0}\)
Z tego mi wyszło
\(\displaystyle{ y-5-x+1=0}\)
\(\displaystyle{ z+2-3y+15=0}\)
\(\displaystyle{ z+2-3x+3=0}\)
a z tego \(\displaystyle{ D=[-4,0,-17]}\)
No i jak obliczyć ten cosinus przekątnych?

Szemek · Post autor: **Szemek** » 24 gru 2007, o 21:42

Taki wzór znalazłem w tablicach, może się przydać

\(\displaystyle{ \vec{a}=[a_x,a_y,a_z]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=[b_x,b_y,b_z]}\)
\(\displaystyle{ \cos \left( \sphericalangle (\vec{a},\vec{b}) \right) =\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} = \frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+x_y^2+a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}}\)

[ Dodano: 24 Grudnia 2007, 23:26 ]
sprawdź czy długości równoległych wektorów (odcinków) w równoległoboku są równe:
\(\displaystyle{ |\vec{AB}|=|\vec{CD}|}\)
\(\displaystyle{ |\vec{BC}|=|\vec{AD}|}\)

do tego cosinusa możesz wykorzystać wektory: SA i SB (albo SB i SC)
nie wiem o który kąt chodzi, może o ten 'ostrzejszy'

kws · Post autor: **kws** » 25 gru 2007, o 17:38

Sprawdziłem czy długości równoległych odcinków są równe i nie są ani gdy za D podstawiam moje rozwiązanie i Twoje
Jeśli \(\displaystyle{ D= ft[x,y,z\right]}\) to można jeszcze podstawić po prostu tak żeby były równe czyli \(\displaystyle{ \vec{CD}=\left[x-1,y-5,z+2 \right]}\)
zakładając że te 2 wektory są równoległe czy mogę zrobić tak\(\displaystyle{ \vec{CD} || \vec{AB} }\)
\(\displaystyle{ x-1 = 1}\)
\(\displaystyle{ y-5 = 1}\)
\(\displaystyle{ z+2 = 3}\) ?

Szemek · Post autor: **Szemek** » 25 gru 2007, o 18:52

skorzystaj z równości wektorów
... ktorow.htm

Dwa wektory są sobie równe wtedy, gdy mają równe wszystkie swoje współrzędne.
Wszystkie równe wektory mają takie samo:
- nachylenie do osi X (albo Y - co na jedno wychodzi)
- długość (wartość).

zwróć uwagę na kolejność wierzchołków
\(\displaystyle{ \vec{AB}=\vec{DC}}\)
\(\displaystyle{ 1-x=1}\)
\(\displaystyle{ 5-y=1}\)
\(\displaystyle{ -2-z=3}\)

kws · Post autor: **kws** » 25 gru 2007, o 22:05

uhh no tak musze przyznac masz racje