Dyskusja rozwiązalności metodą Gaussa

5artos · Post autor: **5artos** » 23 gru 2007, o 14:30

Witam
Chciałbym aby ktośkomleksowo po kolei rozwiazał mi takie zadanie

Wykorzystując algorytm eliminacji GAUSSA przeprowadzićdyskusję rozwiązalnosci układu równań i rozwiązać ten układ (mógłby ktoś to zrobić tak w krokach, bo jest to temat często wykorzystywany i przydatny:)))

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y- z=1 \\ 2x+ y+az=2 \\ bx+2y- z=0\\3x-2y+ z=1 \end{cases}}\)

z góry dzięki

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 23 gru 2007, o 23:29

najpierw zapiszmy układ równań w postaci macierzy.
Macierz rozszerzona tego układu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&-1&|1\\2&1&a&|2\\b&2&-1&|0\\3&-2&1&|1\end{array}\right]}\)
robimy przekształcenia elementarne na wierszach, aż do momentu, gdy mamy jedynki po skosie

5artos · Post autor: **5artos** » 23 gru 2007, o 23:34

Tego jestem świadomy że tak się robi:) ale mógłby ktoś rozwiązać do końca to bo te parametry sa chyba tak niefortunnie usytuowane

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 23 gru 2007, o 23:38

tu jest przykład zadań: oraz ... aw1Sol.pdf . Jak obliczysz , to pomoge Ci z parametrami

5artos · Post autor: **5artos** » 23 gru 2007, o 23:52

BEz przsadyzmu:):) niektóre zadanka fajne sa na tej stronce, dobra to uchyl mi rabka tajemnicy jedynie jak byś umieściła te parametry aby potem przejść do postaci schodkowej no i żeby te parametry tam sie wiadomo nie "pomieszały" z macierzą

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 24 gru 2007, o 21:47

rozpatrujesz dwa przypadki:
1. przyrównujesz do zera
2. różne od zera

JankoS · Post autor: **JankoS** » 25 gru 2007, o 22:52

Faktycznie parametry są rozmieszczone perfidnie. Pomimo tego spróbuję pomóc. Przekształcam macierz rozsserzoną w następujących krokach:
1. IV wiersz dodaję do I i II.
2. Zamieniam kolumnę I z III (gdyby chodziło o rozwiązanie, to trzeba pamiętać, że teraz liczby w pierwszej kolumnie, to współczynniki przy \(\displaystyle{ z}\), a w trzeciej przy \(\displaystyle{ x}\); w przypadku dyskusji, to nie odgrywa roli.
3. Przestawiam wiersze macierzy:II na I, IV na II, I na III i na koniec III na IV.
4. Zamieniam miejscami I wiersz z II.
5. Mnożę pierwszy przez \(\displaystyle{ -a}\) i dodaję do II; III dzielę stronami przez 2.
6. Zamieniam miejscami wiersz II z III.
7. Mnożę II przez \(\displaystyle{ -(1+2a)}\) i dodaję do trzeciego i. jjeżeli się nie pomyliłem, mam macoerz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-2&3&1\\0&1&1&\frac{1}{2}\\0&0&-3-5a&\frac{3}{2}-2a\\0&0&3+b&1\end{array}\right]}\)

I mozna dyskutować. Najpierw wiersz IV, a następnie III.

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 25 gru 2007, o 23:22

można inaczej: wiersz będę oznaczać jako W, a numer wiersza cyframi rzymskimi
1. WII - 2*WI , WIII - b*WI , WIV-3*wI
2. \(\displaystyle{ \frac{1}{4}*WIV}\)
3. WI + (-1)*WIV , WII +5*WIIV , WIII + 2(1+b)*WIV
4. \(\displaystyle{ \frac{1}{1+3*b} *WIII}\)

5artos · Post autor: **5artos** » 26 gru 2007, o 12:05

Te przekształcenia są naprawde ciężki i w mojej krótkiej karierze rozwiązywania równań liniowych nie miałem takiego kombajna więc dzięki za pomoc:):)

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 26 gru 2007, o 18:28

to nie jest aż takie trudne.
Mając jedynkę, możesz wyzerować wiersz lub kolumnę. Wiersz/kolumnę, na której chcesz wykonać przekształcenia elementarne piszemy jako pierwsze.
Jest dużo więcej sposobów na rozwiązanie tego zadania (przekształceń elementarnych).
Zadania z rozwiązaniami podałam wyżej, spróbuj zrobić inne przekształcenia elementarne, wynik zawsze będzie taki sam.
Pozdrawiam.