4 zadania z wektorów i przestrzeni.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Kuba_W
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 20 gru 2007, o 11:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wwa

4 zadania z wektorów i przestrzeni.

Post autor: Kuba_W »

Witam, mam problem z takim oto zestawem zadan:

a) zbadaj liniową niezależność wektorów v1, v2, v3, v4 ,gdy

\(\displaystyle{ V_{1}=\left[\begin{array}{c}2\\0\\-1\\3\end{array}\right] V_{2}=\left[\begin{array}{c}-3\\1\\1\\0\end{array}\right]
V_{3}=\left[\begin{array}{c}-4\\1\\1\\2\end{array}\right] V_{4}=\left[\begin{array}{c}1\\-2\\0\\4\end{array}\right]}\)


b) wyznacz bazę i i wymiar przestrzeni V=lin{v1,v2,v3,v4}
c) czy wektor w należy do V gdy \(\displaystyle{ w=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\end{array}\right]}\) ?
d) Czy lin{v1,v2,v3,v4}=lin{v1,v2,v3,w}?


Z gory bardzo dziekuje za jakakolwiek pomoc przy tych zadaniach
natkoza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2278
Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 602 razy

4 zadania z wektorów i przestrzeni.

Post autor: natkoza »

w celu zbadania liniowej niezależności mozemy policzyć albo wyznacznik , alebo rząd macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&0&-1&3\\-3&1&1&0\\-4&1&1&2\\1&-2&0&4\end{array}\right]}\)
ja policzę rząd
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&0&-1&3\\-3&1&1&0\\-4&1&1&2\\1&-2&0&4\end{array}\right]\ovrline{W_1\leftrightarrow W_3} ft[\begin{array}{cccc}1&-2&0&4\\-3&1&1&0\\-4&1&1&2\\ 2&0&-1&3\end{array}\right]\\
\overline{W_2\rightarrow W_2+3W_1; W_3\rightarrow W_3+4W_1; W_4\rightarrow W_4-2W_1} ft[\begin{array}{cccc}1&-2&0&4\\0&-5&1&12\\0&-7&1&14\\ 0&4&-1&-5\end{array}\right]\overline{W_2\rightarrow W_2-W_3} ft[\begin{array}{cccc}1&-2&0&4\\0&2&0&-2\\0&-7&1&14\\ 0&4&-1&-5\end{array}\right]\overline{W_2\rightarrow \frac{1}{2}W_2} ft[\begin{array}{cccc}1&-2&0&4\\0&1&0&-1\\0&-7&1&14\\ 0&4&-1&-5\end{array}\right]\\
\overline{W_3\rightarrow W_3+7W_2; W_4\rightarrow W_4-4W_2} ft[\begin{array}{cccc}1&-2&0&4\\0&1&0&-1\\0&0&1&7\\ 0&0&-1&-1\end{array}\right]\overline{W_4\rightarrow W_4+W_3}\left[\begin{array}{cccc}1&-2&0&4\\0&1&0&-1\\0&0&1&7\\ 0&0&0&6\end{array}\right] \overline{W_4\rightarrow \frac{1}{6}W_4}\left[\begin{array}{cccc}1&-2&0&4\\0&1&0&-1\\0&0&1&7\\ 0&0&0&1\end{array}\right]}\)

w tym momencie już praktycznie widać, ze rząd ten jest równy 4 czyli te cztery wektory są liniowo niezależne , jakbys policzył wyznacznik, to nie ędzie sie napewno zerował
ODPOWIEDZ