suma prosta

[elektr0n]

1. \(\displaystyle{ A = \lbrace (x,y,z) R^{3}: 2x+y+z=0 \rbrace}\)
\(\displaystyle{ B = R ( \lbrace ( 0,0,1) \rbrace )}\) sprawdzić czy \(\displaystyle{ R^{3}}\) jest sumą prostą podprzestrzeni A i B czyli czy \(\displaystyle{ R^{3} = A \oplus B}\)

[mol_ksiazkowy]

Jak wygląda dowolny wektor z przestrzeni B..? Ma on postać \(\displaystyle{ v= (0,0,t)}\), gdzie t jest l. rzeczywista. Aby wykazać, iż \(\displaystyle{ R^{3} = A \oplus B}\), nalezy sprawdzic, że \(\displaystyle{ R^{3} = A + B}\) i ze podprzestrzenie A i B spelniaja \(\displaystyle{ A \cap B =\{0 \}}\). Drugi warunek jest oczywisty, zas pierwszy wynika z tego że \(\displaystyle{ (x,y,z) = (x,y,-2x-y)+(0,0,2x+y+z)}\)

[MatizMac]

czyli łopatologicznie:
pierwszy warunek jest prawdziwy ponieważ te dwa wektory i trzeci z drugiej podprzestrzeni są liniowo niezależne i są trzy, więc rozpinają całą przestrzeń \(\displaystyle{ R^3}\)
drugi warunek jest prawdziwy z twierdzenia o wymiarze

Czy mam rację?