Układy równań liniowych - zadania

[WoDzU07]

1. Rozwiązać układy równań:

a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=4 \\2x_{1}+3x_{2}+5x_{3}=-5\\-x_{1}+2x_{2}-x_{3}=2\end{cases}}\)

b)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}-3x_{2}-6x_{3}+5x_{4}=-1\\2x_{1}+x_{2}+4x_{3}-2x_{4}=1\\5x_{1}-x_{2}+2x_{3}+x_{4}=6\end{cases}}\)

c)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+x_{2}-x_{3}=2\end{cases}}\)

2. Metodą eliminacji Gaussa w zbiorze IR rozwiązać układy równań:

a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}-x_{4}=1\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+3x_{4}=2\\3x_{1}+5x_{2}-x_{3}+x_{4}=3\end{cases}}\)

b)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}-2x_{2}+x_{3}-2x_{4}=1\\2x_{1}-4x_{2}+4x_{3}-2x_{4}=0\\-x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=1\\3x_{1}-6x_{2}+5x_{3}-4x_{4}=1\end{cases}}\)

[alia]

Do 1a) zastosuj wzory Cramera,

\(\displaystyle{ x=\frac{W_x}{W}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{W_y}{W}}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{W_z}{W}}\)

gdzie W - wyznacznik macierzy głównej,
\(\displaystyle{ W_x}\) - wyznacznik macierzy powstałej z macierzy głównej poprzez zastąpienie pierwszej kolumny (współczynników stojących w układzie przy x) przez wyrazy wolne (te po drugiej stronie równości w układzie). Analogicznie \(\displaystyle{ W_y, W_z}\)