Witam mam takie równanko:
\(\displaystyle{ \[
2X = ft[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 2 \\
{ - 1} & 1 \\
\end{array}} \right] + X ft[ {\begin{array}{*{20}c}
4 & 3 \\
{ - 1} & { - 1} \\
\end{array}} \right]
\]}\)
Proszę o rozwiązanie albo metodę. Próbowałem macierzą odwrotną ale nie szło coś. . .
Z góry dzięki
Równanko macierzowe
-
alia
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 23 razy
Równanko macierzowe
po pierwsze
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array} \right] X-X ft[\begin{array}{cc}4&3\\-1&-1\end{array}\right] =
ft[\begin{array}{cc}1&2\\-1&1\end{array} \right]}\)
ponieważ mnożenie macierzy nie jest przemienne, dlatego najprościej zaastosować
podstawienie
\(\displaystyle{ X= ft[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array} \right]}\)
i wyliczyć jakie będą wyrazy macierzy.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array} \right] X-X ft[\begin{array}{cc}4&3\\-1&-1\end{array}\right] =
ft[\begin{array}{cc}1&2\\-1&1\end{array} \right]}\)
ponieważ mnożenie macierzy nie jest przemienne, dlatego najprościej zaastosować
podstawienie
\(\displaystyle{ X= ft[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array} \right]}\)
i wyliczyć jakie będą wyrazy macierzy.
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Równanko macierzowe
\(\displaystyle{ 2X=\left[\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right]+X\cdot\left[\begin{matrix}4&3\\-1&-1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ 2X-X\cdot\left[\begin{matrix}4&3\\-1&-1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right]}\)
Pomnożyć macierz przez 2 to to samo, co pomnożyć ją przez podwojoną macierz jednostkową, czyli mamy dalej
\(\displaystyle{ X\cdot\left[\begin{matrix}2&0\\0&2\end{matrix}\right]-X\cdot\left[\begin{matrix}4&3\\-1&-1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ X\cdot\left[\begin{matrix}-2&-3\\1&3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}-2&-3\\1&3\end{matrix}\right]^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}-1&-1\\\frac13&\frac23\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{matrix}-\frac13&\frac13\\\frac43&\frac53\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ 2X-X\cdot\left[\begin{matrix}4&3\\-1&-1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right]}\)
Pomnożyć macierz przez 2 to to samo, co pomnożyć ją przez podwojoną macierz jednostkową, czyli mamy dalej
\(\displaystyle{ X\cdot\left[\begin{matrix}2&0\\0&2\end{matrix}\right]-X\cdot\left[\begin{matrix}4&3\\-1&-1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ X\cdot\left[\begin{matrix}-2&-3\\1&3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}-2&-3\\1&3\end{matrix}\right]^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}-1&-1\\\frac13&\frac23\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{matrix}-\frac13&\frac13\\\frac43&\frac53\end{matrix}\right]}\)
Ostatnio zmieniony 8 gru 2007, o 12:34 przez andkom, łącznie zmieniany 3 razy.
-
yonagold
- Użytkownik
- Posty: 183
- Rejestracja: 17 cze 2007, o 21:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WROCEK
- Podziękował: 63 razy
- Pomógł: 7 razy
Równanko macierzowe
ok ale skąd ta macierz???
\(\displaystyle{ \[
ft[ {\begin{array}{*{20}c}
2 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{array}} \right] X
\]}\)
nie rozumiem od 3 linijki w dół !!
\(\displaystyle{ \[
ft[ {\begin{array}{*{20}c}
2 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{array}} \right] X
\]}\)
nie rozumiem od 3 linijki w dół !!
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Równanko macierzowe
Przecież kolega andkom dokładnie, aczkolwiek w skrócie, wytłumaczył sprawę:
\(\displaystyle{ 2=2 ft[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right]}\). W czwartym równaniu wyłączył macierz X przed nawias i jednocześnie wykonał działanie w nawiasach(odjął macierze). Następnie pomnożył obydwie strony równania czwartego przez macjerz odwrotną do macierzy stojącej przy X i otrzymał równanie 5. Na boku policzył sobie tę macierz odwrotną , wykonał mnożenie i otrzymał rozwiązanie.
Ja osobiście robiłbym zadanie inaczej. Podstawiłbym do równania \(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\), wykonał wszystkie działania następnie przeniósł macierz z liczbami na jedną stronę, a macierz z niewiadomymi \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) na drugą stronę. Ponieważ z równości macoerzy wynika równość ich elementów, to dostaję układ 4 prostych równań, które mnżna rozwiązać w pamięci.
\(\displaystyle{ 2=2 ft[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right]}\). W czwartym równaniu wyłączył macierz X przed nawias i jednocześnie wykonał działanie w nawiasach(odjął macierze). Następnie pomnożył obydwie strony równania czwartego przez macjerz odwrotną do macierzy stojącej przy X i otrzymał równanie 5. Na boku policzył sobie tę macierz odwrotną , wykonał mnożenie i otrzymał rozwiązanie.
Ja osobiście robiłbym zadanie inaczej. Podstawiłbym do równania \(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\), wykonał wszystkie działania następnie przeniósł macierz z liczbami na jedną stronę, a macierz z niewiadomymi \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) na drugą stronę. Ponieważ z równości macoerzy wynika równość ich elementów, to dostaję układ 4 prostych równań, które mnżna rozwiązać w pamięci.