Wyznacznik i układ równań

[WoDzU07]

Mam do wyliczenia 2 zadania:

1. obliczyć podane wyznaczniki, wykorzystując występujące w nich regularności:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\6&2&3&4&5\\7&2&3&4&5\\8&9&10&11&12\\13&14&15&16&17\end{array}\right|}\)

2. Układając odpowiednie układy równań znaleźć wszystkie macierze X o wyrazach z R spełniające równania macierzowe:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\2&1\end{array}\right]}\)X = X\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\2&1\end{array}\right]}\)

3. Obliczyć wyznacznik:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&3&4&5\\3&0&0&2\\5&1&2&7\\2&0&0&3\end{array}\right|}\)

[Hac_mi;]

1 odejmij od siebie kolumny od 4 - 3 i od 5 - 4 dostaniesz macierz o tych samych kolumnach det =0

3 chyba laplace... ale możliwe że jest jakieś łatwiejsze rozwiązanie

[JankoS]

Zadanie 2. Z zadania wynika, że X jest macierzą kwadratową 2x2. Podstawiam:\(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\). Wykonuję mnożenie po lewej i po prawej stronie równania.Otrzymuję dwie macierze\(\displaystyle{ L=\left[\begin{array}{cc}l _{1} &l _{2} \\l _{3} &l _{4} \end{array}\right]}\)i\(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{cc}p _{1} &p _{2} \\p _{3} &p _{4} \end{array}\right]}\). Z równości macierzy wynika równość jej elementów. Stąd dostaję układ czterech równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} l _{1}=p _{1} \\l _{2}=p _{2} \\l _{3}=p _{3}\\l _{4}=p _{4}\end{array}}\)
z niewiadomymi a, b, c, d, który trzeba rozwiązać.
Zadanie 3. Wartość tego wyznacznika wynosi 0. Korzystam przy tym z klasycznej jego definicji: Wyznacznik stopnia n jest sumą n! składników, gdzie każdy składnik jest iloczynem n elementów wziętych po jednym z każdego wiersza i z każdej kolumny, znak tego skłądnika jest "+", jeśli permutacja utworzona z drugich indeksów jest parzysta, w przeciwnym przypadku bierzemy składnik ze znakiem "-". W tym konkretnym przypadku znak iloczynu nie odgrywa roli, bo w każdym z nich, co najmniej (?) jeden czynnik jest równy 0, a więc i iloczyn jest równy 0.
Proszę utoworzyć taki iloczyn zawierający maksymalną liczbę niezerowych czynników.