G3.4a Rozwiązać układ równań metodą operacji elementarnych \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x_1+x_2-x_3=4\\3x_1-x_2+2x_3=0\\2x_1-x_2+2x_3=-1 \end{array}}\)
próbuję doprowadzić do postaci schodkowej (row-echelon), ale nie potrafię:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&4\\3&-1&2&0\\2&-1&2&-1\end{array}\right] = ft[\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&4\\3&-1&2&0\\0&-2&3&-5\end{array}\right] = ??}\)
pozdrawiam!
metoda operacji elementarnych
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
metoda operacji elementarnych
A więc: najpierw zamienię kolumny 1 z 2 i mam:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}x _{2}& x _{1}& x _{3}& b\\1&2&-1&4\\-1&3&2&0\\-1&2&2&-1\end{array}\right]}\) dodaję pierwsz wiersz do drugiego i trzeciegoi stąd
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}x _{2}& x _{1}& x _{3}& b\\1&2&-1&4\\0&5&1&4\\0&4&1&3\end{array}\right]}\) mnożę drugi wiersz przez -4/5 i dodaję do trzeciego
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}x _{2}& x _{1}& x _{3}& b\\1&2&-1&4\\0&5&1&4\\0&0&\frac{1}{5}&\frac{-1}{5}\end{array}\right]}\). A stąd ("do tyłu"):\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{5}x _{3}=\frac{-1}{5} \\5x _{1} +x _{3}=4\\x _{2}+2x _{1} +x _{3} =4 \end{array}}\).
Gdyby Kolega chciał kontynuować swoje rozwiązywanie, to pierwszy wiersz trzeba pomnożyć przez taką liczbę y, aby po dodaniu wyeliminować \(\displaystyle{ x _{1}}\) z drugiego równania. Tutaj chcemy, by było \(\displaystyle{ 2y=-3}\) stąd \(\displaystyle{ y=\frac{-3}{2}}\). po tej operacji, w następnym kroku drugi wiersz mnożymy przez y takie, że \(\displaystyle{ a _{22} y=-a _{32}}\) dodajemy do tzeciego i eliminujemy\(\displaystyle{ x _{2}}\) z trzeciego równania.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}x _{2}& x _{1}& x _{3}& b\\1&2&-1&4\\-1&3&2&0\\-1&2&2&-1\end{array}\right]}\) dodaję pierwsz wiersz do drugiego i trzeciegoi stąd
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}x _{2}& x _{1}& x _{3}& b\\1&2&-1&4\\0&5&1&4\\0&4&1&3\end{array}\right]}\) mnożę drugi wiersz przez -4/5 i dodaję do trzeciego
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}x _{2}& x _{1}& x _{3}& b\\1&2&-1&4\\0&5&1&4\\0&0&\frac{1}{5}&\frac{-1}{5}\end{array}\right]}\). A stąd ("do tyłu"):\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{5}x _{3}=\frac{-1}{5} \\5x _{1} +x _{3}=4\\x _{2}+2x _{1} +x _{3} =4 \end{array}}\).
Gdyby Kolega chciał kontynuować swoje rozwiązywanie, to pierwszy wiersz trzeba pomnożyć przez taką liczbę y, aby po dodaniu wyeliminować \(\displaystyle{ x _{1}}\) z drugiego równania. Tutaj chcemy, by było \(\displaystyle{ 2y=-3}\) stąd \(\displaystyle{ y=\frac{-3}{2}}\). po tej operacji, w następnym kroku drugi wiersz mnożymy przez y takie, że \(\displaystyle{ a _{22} y=-a _{32}}\) dodajemy do tzeciego i eliminujemy\(\displaystyle{ x _{2}}\) z trzeciego równania.
-
Lukasz_C747
- Użytkownik
- Posty: 394
- Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
- Pomógł: 99 razy
metoda operacji elementarnych
Jankos: ??? Przekomplikowałeś
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&4\\3&-1&2&0\\2&-1&2&-1\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&4\\1&-2&3&-4\\0&-2&3&-5\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}0&5&-7&12\\1&-2&3&-4\\0&-2&3&-5\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}0&1&-1&2\\1&0&0&1\\0&-2&3&-5\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}0&1&-1&2\\1&0&0&1\\0&0&1&-1\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}0&1&0&1\\1&0&0&1\\0&0&1&-1\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&-1\end{array}\right]}\)
kawafis44: Uprościłem macierz bardziej niż trzeba, ale łatwo wychodziło, więc Sorry za brak działań, ale chyba łatwo się zorientujesz co i jak. Co do metody to poszukaj sobie o metodzie Gaussa. Do samej schodkowej można robić jak JankoS, tj. zerujesz niższe elementy macierzy przez odjęcie wyższego pomnożonego przez odpowiedni współczynnik, jednak to często prowadzi do ułamków. Bawienie się z wartościami całkowitymi jest dłuższe, ale daje ładniejsze wyniki
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&4\\3&-1&2&0\\2&-1&2&-1\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&4\\1&-2&3&-4\\0&-2&3&-5\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}0&5&-7&12\\1&-2&3&-4\\0&-2&3&-5\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}0&1&-1&2\\1&0&0&1\\0&-2&3&-5\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}0&1&-1&2\\1&0&0&1\\0&0&1&-1\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}0&1&0&1\\1&0&0&1\\0&0&1&-1\end{array}\right] ft[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&-1\end{array}\right]}\)
kawafis44: Uprościłem macierz bardziej niż trzeba, ale łatwo wychodziło, więc Sorry za brak działań, ale chyba łatwo się zorientujesz co i jak. Co do metody to poszukaj sobie o metodzie Gaussa. Do samej schodkowej można robić jak JankoS, tj. zerujesz niższe elementy macierzy przez odjęcie wyższego pomnożonego przez odpowiedni współczynnik, jednak to często prowadzi do ułamków. Bawienie się z wartościami całkowitymi jest dłuższe, ale daje ładniejsze wyniki