liniową niezależność funkcji sin i cos

rodzyn3k · Post autor: **rodzyn3k** » 2 gru 2007, o 23:50

sprawdzić liniową niezależność funkcji sin i cos w przestrzeni wektorowej funkcji rzeczywistych, tzn. R do R , działania w tej przestrzeni to dodawanie funkcji "po wartościach" i mnożenie przez skalar

jarekp · Post autor: **jarekp** » 3 gru 2007, o 11:58

wystarczy pokazać że nie istnieją takie a i b \(\displaystyle{ \neq 0}\)że\(\displaystyle{ A x R}\) \(\displaystyle{ asinx+bcosx=0}\)

\(\displaystyle{ asinx+bcosx=0 \frac{a}{ \sqrt{a^2+b^2} }sinx+ \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} }cosx=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt{a^2+b^2} }=cosy}\)a \(\displaystyle{ \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} }=siny}\)
(y=const)

zatem \(\displaystyle{ asinx+bcosx=0 \frac{a}{ \sqrt{a^2+b^2} }sinx+ \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} }cosx=0 cosy sinx+ siny cosx=0 sin(x+y)=0}\)

ale równość sin(x+y)=0 nie zachodzi dla każdego x \(\displaystyle{ \in R}\) a więc nie istnieją takie a i b ze a,b \(\displaystyle{ \neq 0}\) i \(\displaystyle{ asinx+bcosx=0}\) \(\displaystyle{ A x R}\)

czyli cosx i sinx są liniowo niezależne

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 4 gru 2007, o 09:16

gdyby były liniowo zależne, to byłoby sin x =b*cos x. wtedy całki obu stron na przedziale [0,pi] byłyby równe, podczas gdy całka lewej strony jest równa 2, a prawej 0.