Czy odwzorowanie jest liniowe

[klementa]

Sprawdzić czy odwzorowania są liniowe:
a) \(\displaystyle{ f : R R f(x) = |x|}\)

b) \(\displaystyle{ f : R^2 R^3 f(x,y) = (2x-y, x+y, y-x)}\)

c) \(\displaystyle{ f : R[x]_{2} R[x]_{3} (f(p))(x)= (x^2+2x)p'(-x)}\)

d) \(\displaystyle{ f : C(R) C(R) (f(p))(x) =p^2(x)}\)

[soku11]

b)
\(\displaystyle{ X=(x_1,x_2)\\
Y=(x_3,x_4)\\
\lambda X+\mu Y=(\lambda x_1+\mu x_3,\lambda x_2+\mu x_4)\\
f(\lambda X+\mu Y)=f(\lambda x_1+\mu x_3,\lambda x_2+\mu x_4)=
(2(\lambda x_1+\mu x_3)-\lambda x_2+\mu x_4,
\lambda x_1+\mu x_3+ \lambda x_2+\mu x_4,
\lambda x_2+\mu x_4- \lambda x_1+\mu x_3)=
(2\lambda x_1+2\mu x_3-\lambda x_2+\mu x_4,
\lambda x_1+\mu x_3+ \lambda x_2+\mu x_4,
\lambda x_2+\mu x_4- \lambda x_1+\mu x_3)=
(2\lambda x_1-\lambda x_2, \lambda x_1+\lambda x_2, \lambda x_2-\lambda x_1)+
(2\mu x_3-\mu x_4, \mu x_3+\mu x_4, \mu x_4-\mu x_3)=
\lambda(2x_1-x_2, x_1+ x_2, x_2- x_1)+
\mu(2 x_3- x_4, x_3+ x_4, x_4- x_3)=\lambda f(X)+\mu f(Y)}\)

A wiec jest to odwzorowanie liniowe POZDRO

[Emiel Regis]

d) \(\displaystyle{ f : C(R) C(R) (f(p))(x) =p^2(x)}\)

Choćby po braku jednorodności widać że nie jest liniowe:

\(\displaystyle{ a \mathbb{R}, p C(\mathbb{R})}\)
\(\displaystyle{ f(ap)(x)=(ap)^2(x) ap^2(x)=af(p)(x)}\)