Wyznaczanie rzędu macierzy.

[Brzezin]

Mam następujące pytanie: Jak wyznaczyć rząd macierzy za pomocą metody sprawdzania wyznaczników, a dokładniej chodzi mi o kolejność i co z czym sprawdzać (słyszałem o jakiś liniach parzystych/nieparzystych, które składają się na wyznaczniki, a może po prostu mam wziąć wszystkie kombinacje). Załóżmy że mamy macierz:

\(\displaystyle{ $$ ft[
\begin{array}{ c c c c c}
2 & 1 & -1 & 3 & 4 \\
-1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 2 & 5
\end{array} \right]
$$}\)

Czy jest możliwe np. sprawdzanie wyznacznika (dla poszczególnych rzędów)"
\(\displaystyle{ $$ ft[
\begin{array}{ c c c}
2 & 3 & 4 \\
-1 & -1 & 1 \\
1 & 2 & 5
\end{array} \right]
$$}\)
oraz
\(\displaystyle{ $$ ft[
\begin{array}{ c c }
1 & 3 \\
-1 & -1
\end{array} \right]
$$}\)
i
\(\displaystyle{ $$ ft[
\begin{array}{ c c }
2 & 4 \\
-1 & 1
\end{array} \right]
$$}\)
Jakie wyznaczniki należy brać do ich sprawdzenia?
Z góry dziękuję za pomoc. Pozdrawiam Maks.

[Lukasz_C747]

Cytując za pewnym podręcznikiem:

Rzędem macierzy nazywamy największy stopień niezerowego minora tej macierzy, czyli wyznacznika obliczonego z wybranych wierszy i kolumn tej macierzy.

Z tego co mi wiadomo, w tej metodzie nie ma innego sposobu niż liczenie wszystkich możliwych wyznaczników danego stopnia, więc stosuje się ją raczej dla małych macierzy albo do udowadniania, że macierz jest co najmniej danego rzędu (poprzez znalezienie niezerowego minora).

Przykładowo, wyznacznik z dwóch pierwszych kolumn i wierszy pierwszej z podanych przez ciebie macierzy jest niezerowy, więc jest ona co najmniej rzędu dwa. Jednak by dowieść, że nie jest rzędu 3 (a nie jest ) musiałbyś policzyć wszystkie możliwe wyznaczniki 3 stopnia (czyli bodajże 10 wyznaczników) i sprawdzić czy wynoszą zero.

Zatem pierwszy przykład jest bardzo czasochłonny, ale za to pozostałe wychodzą całkiem szybko. Macierze 2x2 mają wyznacznik z całej macierzy niezerowy, więc ich rząd równa się dwa. Macierz 3x3 ma wyznacznik z cąłej macierzy równy zero, więc nie ma rzędu 3, jednak wyznacznik choćby z dwóch pierwszych wierszy i kolumn jest różny od zera, więc macierz ma rząd 2.

[Brzezin]

No tak, ale mi właśnie chodzi o te wszystkie możliwe wyznaczniki. Które to są i jak je zobaczyć

[Emiel Regis]

Napaliłes się na te wyznaczniki jak Arab na kurs pilotażu. Oczywiscie możesz je liczyć ale np na kolokwium braknie Ci czasu, choc pewnie szybko trafisz na jakis niezerowy.
Odejmij od pierwszego wiersza dwa razy trzeci, oraz dodaj do drugiego wiersza trzeci i widać ze rząd będzie 3.

[Lukasz_C747]

Drizzt: Jak dostaniesz zadanie wyznaczenia rzędu macierzy za pomocą metody wyznaczników też napiszesz, że wystarczy odjąć/dodać odpowiednie wiersze? Kolega zadał pytanie odnośnie metody (która rzadko, ale jednak się przydaje) i oczekuje odpowiedzi na nie, a nie opinii.

Swoją drogą sprawa znalazła finał na GG, ale żeby było dla innych.
Wszystkie możliwe wyznaczniki trzeciego stopnia w tym wypadku to wszystkie możliwe kombinacje trzech różnych kolumn z tej macierzy. Ich kolejność nie gra roli w tym przypadku, gdyż badamy tylko czy wyznacznik się zeruje.

[Emiel Regis]

Ja nie neguję metody, ja tylko neguję jej zastosowanie w tym konkretnym przypadku. Dlatego jak już ćwiczeniowiec lubi narzucać sposób to niech rozsądnie wybierze zadanie.

Gdybym dostał na kolokwium? Pewnie bym zostawił je na koniec i jakby zostało dużo czasu to zrobiłbym wedle zalecen, jesli nie, to po swojemu. Na szczęscie u mnie na kolokwiach zadania wyglądają tak że dostaje sie jakis problem i rozwiązać go należy wedle własnego uznania.

Bo tak to mam wątpliwości czy gdyby w tej chwili Brzezin dostał macierz 3x30 to czy by nie zaczął liczyć tych wszystkich wyznaczników... Wg mnie rozsądek przede wszystkim, a nie polecenie.

[malyzbir]

to znaczy, że jeśli z jednej chociaż kombinacji tych kolumn wyjdzie mi wyznacznik 0 to dalej juz niemusze liczyc bo rzedu=3 nie bedzie?

[juha142]

Hej musze rozwiazac kład równań stosując macierz odwrotną:
x+y-z=0
2x+y+z=3
x-y+z=2

|A| wyszło mi 4

minory wyszly mi:
2 -1 -3
-1 2 2
2 3 1
pomóżcie nie wiem czy to dobrze