kwadrat lacinski

[kingataranek]

Czy ma ktos moze omysl na takie zadanie:
A jest kwadratem lacinskim rzedu n, jest taka liczba r=2r?
wiem ze jest mozna sobie rozpisac ale jak to formalnie udowodnic?

[JankoS]

Zakładam, że mówimy o tym samym, tzn kwadrat łaciński jest macierzą kwadratową, taką, że żaden wiersz ani kolumna nie zawiera takich samych elementów.
Pierwsza część dowodu jest łatwa.
Przypuszczam, że kwadrat B nie jest kwadratem łacińskim, a więc co najmniej jeden jego wiersz lub kolumna zawiera co najmniej dwa takie same elementy. Ten wiersz (kolumna) jest częścią wiersza (kolumny) kwadratu A - stąd ten kwadrat (A) nie jest łaciński. Przypuszczenie, że kwadrat B nie jest łaciński doprowadziło do sprzeczności z założeniem, że kwadrat A jest łacński, a więc okazało się fałszywe i kwadrat A jest łaciński.
Teraz pokażę, że \(\displaystyle{ n \geqslant 2r}\).
Niech kwadrat A o n kolumnach będzie łaciński i jego pierwszych r kolumn będzie kolumnami kwadratu łacińskiego B. na lewo od tych "zajętych" kolunn pozostaje prostokąt o (n-r) kolumnach i r wierszach. W nim mam rozmieścić (n-r) pozostałych liczb tak, że żaden jego wiersz ani kolumna nie zawiera takich samych elementów (w przciwnym przypadku A nie byłby kwadratem łacińskim). Jest to możlliwe, tylko wtedy gdy ten prostokąt jest łaciński, czyli gdy
\(\displaystyle{ n-r=r}\)
a stąd
\(\displaystyle{ n=2r}\)
i dalej
\(\displaystyle{ n \geqslant 2r}\).
It's all.
Przepraszam za prywatę. Gdyby Pani Mama pochodziła z Czapli, to proszę o maila oknaj@o2.pl

[kingataranek]

Dzieki
mama nie pochodzi z czapli tylko z debowca