Zadanie:
Znajdź bazę przestrzeni V=lin{(1,2,3,1),(5,1,-2,2),(-3,3,8,0)}
i sprawdź czy (1,1,8,0) należy V
Ma ktoś jakiś pomysł ?!
Przestrzeń
-
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Przestrzeń
Zauważmy, że (5,1,-2,2)=2(1,2,3,1)-(-3,3,8,0), zatem mamy
V=lin{(1,2,3,1),(5,1,-2,2),(-3,3,8,0)}=lin{(1,2,3,1),(-3,3,8,0)}
przy czym wektory (1,2,3,1), (-3,3,8,0) są niezależne (żaden z nich nie jest wielokrotnością drugiego)
Zatem {(1,2,3,1),(-3,3,8,0)} jest bazą V.
Żeby sprawdzić, czy (1,1,8,0) jest w V, należy zobaczyć, czy istnieją a oraz b takie, że
a(1,2,3,1)+b(-3,3,8,0)=(1,1,8,0)
Gdyby tak było, to musiałoby być a=0 (patrz ostatnia współrzędna), czyli
b(-3,3,8,0)=(1,1,8,0)
a takiego b nie ma, bo nie ma b, dla którego mielibyśmy równocześnie -3b=1, 3b=1, 8b=8 oraz 0b=0. Czyli (1,1,8,0) nie jest elementem V.
V=lin{(1,2,3,1),(5,1,-2,2),(-3,3,8,0)}=lin{(1,2,3,1),(-3,3,8,0)}
przy czym wektory (1,2,3,1), (-3,3,8,0) są niezależne (żaden z nich nie jest wielokrotnością drugiego)
Zatem {(1,2,3,1),(-3,3,8,0)} jest bazą V.
Żeby sprawdzić, czy (1,1,8,0) jest w V, należy zobaczyć, czy istnieją a oraz b takie, że
a(1,2,3,1)+b(-3,3,8,0)=(1,1,8,0)
Gdyby tak było, to musiałoby być a=0 (patrz ostatnia współrzędna), czyli
b(-3,3,8,0)=(1,1,8,0)
a takiego b nie ma, bo nie ma b, dla którego mielibyśmy równocześnie -3b=1, 3b=1, 8b=8 oraz 0b=0. Czyli (1,1,8,0) nie jest elementem V.