zbadać liniową niezależność

elektr0n · Post autor: **elektr0n** » 21 lis 2007, o 20:36

zbadać liniowa niezależność wektoru \(\displaystyle{ [1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\sin 3x,\cos 3x]}\)
byłbym równiez wdzięczny o uzasadnienie
z góry dziękuję

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 21 lis 2007, o 22:46

Jka to przestreń nad jakim ciałem a po drugie jak można badać zależnośc albo i niezależnośc wektoru (jednego?)

może wektorów???

JankoS · Post autor: **JankoS** » 22 lis 2007, o 02:11

Najpierw co do wątpliwosci Pana Arka. Wiem,że to dziwne, ale można badać zależnośc liniową jednego wektora (tylko cóż to za badanie?) - wektor zerowy jest liniowo zależny, zaś wektor niezerowy jest liniowo niezależny.
A teraz co do zadania. Nie umiem jeszcze Latexa, więc będę pisał słowami.
Pierwwszy sposób: Pierwsza składowa wektora=1, więc wektor nie jest wektorem zerowym i jest niezależny na podstawie cytowanego wyżej stwierdzenia.
Drugi sposób (prawdopodobnie wymagany): Mnożę wktor przez współczyniik a i otrzymana kombinację liniową przyrównuję do wektora zerowego
a[1, sin x, cos x, sin 2x, cos2x, sin3x, cos 3x]=
=[a, asin x, acos x, asin2x, acos2x, asin 3x, acos3x]=[0, 0, 0, 0, 0, 0].
Stąd i z definicji równości wektorów dostaję układ sześciu równań z niewiadomą a:
a=0 i asin x=0 iacos x=0 i ... i asin 3x=0.
Jedynym rozwiązaniem tego układu jest a=0 (widać to z pierwszego równania), co oznacza, że rozpatrywny wektor jest liniowo niezalężny.