Przestrzeń

[verso20]

Zadanie:

Znajdź bazę przestrzeni liniowej będącej zbiorem rozwiązania układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+5x_{2}+x_{4}=0\\x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+7x_{4}=0\end{cases}}\)

Czy otrzymane wektory są liniowo niezależne?

[kuch2r]

Mamy uklad dwoch rownan z 4 niewiadomymi.
Uzaleznijmy 2 z tych zmiennych przy pomocy parametrow \(\displaystyle{ s,t}\).
Niech:
\(\displaystyle{ x_3=s , x_4=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t,s\in R}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+5x_2+t=0\\
x_1+2x_2+3s+7t=0\end{cases}}\)
Podstawiaj rownanie pierwsze do rownania drugiego otrzymujemy,ze:
\(\displaystyle{ -5x_2-t+2x_2+3s+7t=0\\ -3x_2=-3s-6t\\x_2=s+2t}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ x_1=-7t-3s-2s-4t=-11t-5s}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1=-11t-5s\\
x_2=s+2t\\
x_3=s\\
x_4=t\end{cases}}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ [x_1,x_2,x_3,x_4]=[-11t-5s,s+2t,s,t]=[-11t,2t,0,t]+[-5s,s,s,0]=t[-11,2,0,1]+s[-5,1,1,0]}\)
Szukana baza przestrzeni liniowej jest para wektorow \(\displaystyle{ [-11,2,0,1],[-5,1,1,0][}\)
Jezeli wektory tworza baze przestrzeni to sa liniowo niezalezne