wektory i wartości własne macierzy

[radeon_231]

Znaleźć wartości i wektory własne macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&0&0\\-3&-3&0\\8&3&7\end{array} \right]}\)

Wartości własne wyszły mi takie: \(\displaystyle{ \lambda _{1}=5, \lambda _{2}=-3, \lambda _{3}=7}\)
natomiast nie wiem jak liczy sie wektory własne. Jest taki wzór: \(\displaystyle{ \left(A-I\lambda _{i}\right) \vec{x _{i} }=0}\) ale nie wiem jak się z niego oblicza te wektory. Czy mógłby ktoś mi to rozpisać (wytłumaczyć)? Z góry dzięki za pomoc

pozdrawiam

[alia]

dla każdej wartości własnej musisz znaleźć wektor własny korzystając z podanego wzoru
1) np. dla \(\displaystyle{ \lambda=7}\)
rozwiązujesz równanie
\(\displaystyle{ \left(\left[\begin{array}{ccc}5&0&0\\ -3&-3&0\\8&3&7 \end{array}\right] - 7\cdot ft[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{array}\right] \right)\cdot ft[ \begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right] =0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}-2&0&0 \\ -3 &-10&0 \\8 &3&0\end{array}\right]\cdot ft[ \begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right] =0}\)

[radeon_231]

no tak ale po wymnożeniu nie wiem co mam zrobić z x,y i z. Możesz mi to wyjaśnić??

[alia]

po wymnożeniu otrzymujesz układ równań
-2x=0
-3x-10y=0
8x+3y=0

z powyższego otrzymujemy
x=y=0 oraz z - dowolne, np. z=t, gdzie \(\displaystyle{ t\in R}\), to oznacza, że wektor własny dla wymienionej wartości własnej ma postać \(\displaystyle{ v_1=[0,0,t]=t[0,0,1]}\)