nie moge sobie poradzić z następującym:
niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą nieosobliwą i niech \(\displaystyle{ U, V}\) będąmacierzami jednokolumnowymi. Wówczas macierz \(\displaystyle{ V^{T}A^{-1}U}\) jest stopnia 1, czyli ma tylko jeden element. Niech ten jedyny element będzie różny od jedynki, \(\displaystyle{ a 1}\). Korzystając z definicji macierzy odwrotnej, udowodnić następujący wzór \(\displaystyle{ Shermana-Morrisona}\):
\(\displaystyle{ (A-UV^{T})^{-1}=A^{-1}+ \frac{1}{1-a} A^{-1}UV^{T}A^{-1}}\)
proszę o pomoc, wskazówki, whatever
udowodnić wzór Shermana-Morrisona
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
udowodnić wzór Shermana-Morrisona
\(\displaystyle{ \left[A^{-1}+\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}\right]\left[A-UV^T\right]=\\
=A^{-1}A+\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}A-A^{-1}UV^T-\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}UV^T=\\
=Id+\frac1{1-a}A^{-1}UV^T-A^{-1}UV^T-\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}UV^T=\\
=Id+\frac1{1-a}A^{-1}UV^T-A^{-1}UV^T-\frac a{1-a}A^{-1}UV^T=\\
=Id+\frac{1-a}{1-a}A^{-1}UV^T-A^{-1}UV^T=Id}\)
Podobnie należy pomnożyć obie macierze w odwrotnej kolejności:
\(\displaystyle{ \left[A-UV^T\right]\left[A^{-1}+\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}\right]=\\
=AA^{-1}+A\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}-UV^TA^{-1}-UV^T\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}=\\
=Id+\frac1{1-a}AA^{-1}UV^TA^{-1}-UV^TA^{-1}-\frac1{1-a}UV^TA^{-1}UV^TA^{-1}=\\
=Id+\frac1{1-a}UV^TA^{-1}-UV^TA^{-1}-\frac a{1-a}UV^TA^{-1}=\\
=Id+\frac{1-a}{1-a}UV^TA^{-1}-UV^TA^{-1}=Id}\)
Z definicji macierzy odwrotnej wynika, że \(\displaystyle{ A^{-1}+\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}}\) jest macierzą odwrotną do \(\displaystyle{ A-UV^T}\).
=A^{-1}A+\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}A-A^{-1}UV^T-\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}UV^T=\\
=Id+\frac1{1-a}A^{-1}UV^T-A^{-1}UV^T-\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}UV^T=\\
=Id+\frac1{1-a}A^{-1}UV^T-A^{-1}UV^T-\frac a{1-a}A^{-1}UV^T=\\
=Id+\frac{1-a}{1-a}A^{-1}UV^T-A^{-1}UV^T=Id}\)
Podobnie należy pomnożyć obie macierze w odwrotnej kolejności:
\(\displaystyle{ \left[A-UV^T\right]\left[A^{-1}+\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}\right]=\\
=AA^{-1}+A\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}-UV^TA^{-1}-UV^T\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}=\\
=Id+\frac1{1-a}AA^{-1}UV^TA^{-1}-UV^TA^{-1}-\frac1{1-a}UV^TA^{-1}UV^TA^{-1}=\\
=Id+\frac1{1-a}UV^TA^{-1}-UV^TA^{-1}-\frac a{1-a}UV^TA^{-1}=\\
=Id+\frac{1-a}{1-a}UV^TA^{-1}-UV^TA^{-1}=Id}\)
Z definicji macierzy odwrotnej wynika, że \(\displaystyle{ A^{-1}+\frac1{1-a}A^{-1}UV^TA^{-1}}\) jest macierzą odwrotną do \(\displaystyle{ A-UV^T}\).