wyznacznik ciekawej macierzy

shogun · Post autor: **shogun** » 18 lis 2007, o 23:03

witam!

podsuńcie mi, proszę, jakiś pomysł na obliczenie wyznacznika takiej macierzy:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}5&3&0&...&0\\2&5&3&...&0\\0&2&5&...&0\\...&...&...&...&3\\0&0&0&...&5\end{array}\right|}\)

z góry dziękuję za wszelkie wskazówki =)

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 19 lis 2007, o 09:38

zrobić przekształcenia elementarne, tak by w kolumnie lub wierszu było jak najwięcej zer i potem skorzystać z twierdzenia Laplace'a.

shogun · Post autor: **shogun** » 19 lis 2007, o 10:18

hehe, nie obraź się, ale aqrat to wiedziałem =P
natomiast chodzi o wskazówki odnośnie elementarnego przekształcenia, gdyż nie mam zbytnio pomysłu =)

pozdrawiam!

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 23 lis 2007, o 23:20

Patrzyłam na tą macierz i chciałam dopisać przedostatnią kolumnę i zauważyłam pewną włąsność:
Zauważ, że jak rozpiszesz tą macierz to powstanie Ci:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}5&3&0&0&0\\2&5&3&0&0\\0&2&5&3&0\\0&0&2&5&3\\0&0&0&2&5\end{array}\right|}\)
i teraz już prosto da się rozwiązać

shogun · Post autor: **shogun** » 28 lis 2007, o 14:26

ja też sobie to rozpisałem i też zauważyłem tę własność, a mimo wszystko nie mogę dojść przekształcenia, które w sposób elementarny rozwikła problem znalezienia wyznacznika =)
nie wiem, może jakoś źle do tego podchodzę, ale nie mam pomysłu..

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 29 lis 2007, o 14:12

to zrób bez przekształceń zaraz Laplace'a
podaje link przykładu:

[ Dodano: 29 Listopada 2007, 14:39 ]
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}5&3&0&0&0\\2&5&3&0&0\\0&2&5&3&0\\0&0&2&5&3\\0&0&0&2&5\end{array}\right|= \left( -1\right) ^{1+1} *5 \left|\begin{array}{cccc}5&3&0&0\\2&5&3&0\\0&2&5&3\\0&0&2&5\end{array}\right|+ \left( -1\right) ^{1+2} *3\left|\begin{array}{cccc}2&3&0&0\\0&5&3&0\\0&2&5&3\\0&0&2&5\end{array}\right|= 5* \left( -1\right) *5 \left|\begin{array}{ccc}5&3&0\\2&5&3\\0&2&5\end{array}\right|+3* \left( -1\right) ^{1+2} \left|\begin{array}{ccc}2&3&0\\0&5&3\\0&2&5\end{array}\right|+ \left( -3\right) * \left( -1\right) ^{1+1} *2 \left|\begin{array}{ccc}5&3&0\\2&5&3\\0&2&5\end{array}\right|=25 \left|\begin{array}{ccc}5&3&0\\2&5&3\\0&2&5\end{array}\right| -3 \left|\begin{array}{ccc}2&3&0\\0&5&3\\0&2&5\end{array}\right|-6\left|\begin{array}{ccc}5&3&0\\2&5&3\\0&2&5\end{array}\right|=25 \left( 125-30-30\right) -3 \left( 20-12\right) -6 \left( 125-30-30\right) =1625 -24-390=1211}\)
Mam nadzieję, że nie pomyliłam się w rachunkach

shogun · Post autor: **shogun** » 29 lis 2007, o 15:00

hmm...myślę, że to nie jest prawidłowe rozwiązanie, dlatego że macierz nie ma wymiarów 5x5 - jest to macierz o wymiarach nxn..

popraw mnie, jeśli się mylę =)

pozdrawiam!

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 7 gru 2007, o 19:06

Hania_87 pisze:Patrzyłam na tą macierz i chciałam dopisać przedostatnią kolumnę i zauważyłam pewną włąsność:
Zauważ, że jak rozpiszesz tą macierz

shogun pisze: ja też sobie to rozpisałem i też zauważyłem tę własność

shogun pisze:hmm...myślę, że to nie jest prawidłowe rozwiązanie, dlatego że macierz nie ma wymiarów 5x5 - jest to macierz o wymiarach nxn..

Najpierw się ze mną zgodziłeś, a potem już nie. Jak marz macierz nxn i są kropeczki, to możesz sobie wpisać wiersz/kolumnę, która pasuje do schematu. W tym wypadku dało się napisać całą macierz, ale gdy się nie da, to musisz licząc wyznacznik z Laplace'a i się domyślić, co będzie dalej w kropeczkach, według schematu.

Hania_87 pisze:Mam nadzieję, że nie pomyliłam się w rachunkach

Pisząc, to miałam na myśli w mnożeniu, odejmowaniu, itp.

shogun · Post autor: **shogun** » 12 gru 2007, o 12:16

no nie wime - nie gniewaj się, ale jakoś mnie nie przekonałaś..

pisząc, że zgadzam się z Tobą miałem na myśli fakt, że też widzę taki sposób rozpisania tej macierzy, ale nie wiem, czy można ot tak zapomnieć o "kropeczkach" =)

czy Ktoś jeszcze mógłby wziąć udział w tej dysqsji? =D

pozdrawiam! =)

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 13 gru 2007, o 14:30

Nie widze, by ktoś inny się buntował.
Weźmy inny przykład, nie związany z macierzami: zbiór {1, 2, 3, ..., 16} można przecież napisać {1,2, 3, 4, ...., 16} jak również {1, 2, 3, ...., 15, 16} , a możemy zwyczajnie wypisać wszystkie elementy {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
Może inny przykład {1, 3, ...,15} czyli w naszym zbiorzesą liczby nieparzyste
Przykłady można mnożyć.

Wracając do naszej macierzy, tak samo jak w prezykładach pomyżej, można dopisać liczby, które pasuję w miejscu kropeczek.

Jutro lub pojutrze napiszę Ci inny przykład macierzy z kropeczkami, w którym tak się nie będzie dało, ponieważ liczb będzie dużo więcej i nie będziemy w stanie ich wszystkich wypisać.
Pozdrawiam

scyth · Post autor: **scyth** » 13 gru 2007, o 14:37

hmm... Myslę, że musicie znaleźć (indukcyjnie) wzór na wyznacznik tej macierzy w zależności od liczby wierszy/kolumn n.
n - wyznacznik
2 - 19
3 - 65
4 - 211
5 - 665
6 - 2059
7 - 6305

micholak · Post autor: **micholak** » 13 gru 2007, o 20:16

Ogolnie
\(\displaystyle{ I_{n}=5I_{n-1}-6I_{n-2}}\)

A i kropki sa wazne...
\(\displaystyle{ I_{1}=5}\)
\(\displaystyle{ I_{2}=19}\)

jozkes · Post autor: **jozkes** » 15 gru 2007, o 13:43

Hmm a mozna by bylo zrobic tak jak Hania_87 i nastepnie sprowadzic ja do postaci trojkatnej i obliczyc??:)

Hania_87 · Post autor: **Hania_87** » 15 gru 2007, o 19:03

Jak obiecłam przesyłam przykład zadania wraz z rozwiązaniem

Obliczyć wyznacznik macierzy stopnia n:
\(\displaystyle{ det
ft[\begin{array}{cccccc}a_{1} & b_{1} & 0 & \ldots & 0& 0\\0&a_{2}&b_{2}& \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots &\ldots\ddots& \vdots & 0 & 0\\0&0&0&\ldots& b_{n-2}&0 \\0&0&0&\ldots&a_{n-1}&b_{n-1} \\b_{n}&0&0&\ldots&0&a_{n}\end{array}\right]= a_1 a_2 \ldots a_n + (-1)^{n + 1} b_1 b_2 \ldots b_n}\)

n będzie parzyste\(\displaystyle{ = a_1 a_2 \ldots a_n - b_1 b_2 \ldots b_n}\)
n będzie nieparzyste\(\displaystyle{ = a_1 a_2 \ldots a_n + b_1 b_2 \ldots b_n}\)