Czy dane przekształcenia są przekształceniami liniowymi?

[McGoof]

Zbadaj, czy dane przekształcenia są przekształceniami liniowymi:
1\(\displaystyle{ \phi:R ft[ x\right] _{n} R, f f(1)}\);
2\(\displaystyle{ \phi:R R, \phi(x)= \frac{1}{ ft| x\right|+1 }}\);
3\(\displaystyle{ \phi:R _{+} R, \phi(x)=ln(x^{2}+2)}\);

I właśnie, nie do końca rozumiem oznaczenia z 1szego przykładu, mianowicie zapisu \(\displaystyle{ f f(1)}\), bo np.\(\displaystyle{ x x+5}\)to rozumiem ;P

[Lukasz_C747]

Ad.1 Po prostu podstawiasz jeden pod x, czyli w tym przypadku przekształca wielomian na jego współczynniki.
Wystarczy sprawdzać warunek
\(\displaystyle{ \varphi(\alpha x_{1}+\beta x_{2}) = \varphi(x_{1}) + \beta\varphi(x_{2})}\)

W 1 jest spełniony (sorry, ale w LaTexie trochę się to pisze, ale skoro wiesz już o co chodzi łatwo się to sprawdza).

2 nie jest przekształceniem liniowym, bo np.: \(\displaystyle{ \varphi(-x) = \frac{1}{|-x|+1} -\frac{1}{|x|+1} = -\varphi(x)}\)

3 też nie jest, bo np.: \(\displaystyle{ \alpha\varphi(x) = \ln(x^2+2) = \ln(x^2+2)^\alpha \ln((\alpha x)^2+2) = \varphi(\alpha x)}\)