Kronecker Capelli. Kilka niejasności z książki.

[gawcyk1986]

Jest sobie układ równań:

x+3y-4z=4
3x+2y-z=1
x-4y+7z=5

Budujemy macierz współczynników W i macierz uzupełnioną U:

W=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&3&-4\\3&2&-1\\1&-4&7\end{array}\right]}\), U=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&3&-4&4\\3&2&-1&1\\1&-4&7&5\end{array}\right]}\)

Łatwo obliczamy, że det W=0, czyli nie możemy stosować twierdzenia Cramera. Rząd macierzy W jest niższe niż 3, ale ponieważ minor stopnia drugiego utworzony ze współczynników przy x i y w dwóch pierwszych równaniach

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}1&3\\3&2\end{array}\right|}\)=2-9=-7 \(\displaystyle{ \neq}\) 0,

więc rząd r(W)=2
Zbadajmy następnie rząd macierzy uzupełnionej U, obliczając wartości wyznaczników możliwie najwyższego stopnia, tj. od stopnia 3. Skreślając trzecią kolumnę otrzymujemy wyznacznik

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&3&4\\3&2&1\\1&-4&5\end{array}\right|}\)=10-48+3-8+4-45 \(\displaystyle{ \neq}\) 0

zatem r (U)=3. Ponieważ rzędy macierzy W i U są różne, czyli r(W)\(\displaystyle{ \neq}\)r(U), więc nie jest spełniony warunek rozwiązalności układu, tzn układ ten nie ma rozwiązania, czyli jest sprzeczny.

--
I teraz moje pytania dotyczące kolorem czerwonym zaznaczony tekst. Po prostu nie widzę tego:
1) Jak to rząd macierzy jest niższy niż 3?
2) Skąd rząd r(W)=2?
3) "...obliczając wartości wyznaczników możliwie najwyższego stopnia, tj. od stopnia 3". Jak to zinterpretować?
4) Skąd rząd r(U)=3?

[Lukasz_C747]

Wyznacznik równy zero mówi nam, że mamy liniową zależność, a rząd to liczba liniowo niezależnych kolumn/wierszy. Stąd:
1. Rząd jest niższy niż trzy no bo maksymalnie może wynosić 3 (macierz 3x3), ale wyznacznik z całej macierzy jest równy zero.
2,4. Wyznaczniki są różne od zera, więc dane wiersze/kolumny są liniowo niezależne.
3. Wyznaczniki możemy liczyć tylko z macierzy kwadratowych, a więc najwyższy możliwy stopień minora w tej macierzy to 3 (rząd zresztą też).