pytanie o taką baze

camol · Post autor: **camol** » 17 lis 2007, o 14:33

niech {u,v,w} -baza przestrzeni V nad R. Czy układ {2v+u-3w,5u-2v,w-2u} jest bazą V? prosze o rozwiazanie krok po kroku z objasnieneim chociaz krotkim, z gory wielkie dzieki

Lukasz_C747 · Post autor: **Lukasz_C747** » 17 lis 2007, o 16:09

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&1&-3\\-2&5&0\\0&-2&1\end{array}\right| = 0}\)

Zatem wektory te nie są liniowo niezależne, więc nie mogą tworzyć bazy.

camol · Post autor: **camol** » 17 lis 2007, o 18:43

a moglbys mi to wytlumaczyc inaczej bez tych macierzy bo ich jeszcze nie mialem

Lukasz_C747 · Post autor: **Lukasz_C747** » 17 lis 2007, o 20:28

\(\displaystyle{ \alpha(2v+u-3w) + \beta(5u-2v) + \gamma(w-2u) = 0\\
u(\alpha+5\beta-2\gamma) + v(2\alpha-2\beta) + w(-3\alpha+\gamma) = 0\\
ft\{\begin{array}{l} +5\beta-2\gamma=0\\2\alpha-2\beta=0\\-3\alpha+\gamma=0 \end{array}

ft\{\begin{array}{l} +5\beta-2\gamma=0\\\alpha=\beta\\\gamma=3\alpha \end{array}
\\
ft\{\begin{array}{l} 0=0\\\alpha=\beta\\\gamma=3\alpha \end{array}}\)

Czyli istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego układu równań w zależności od zmiennej alfa. Zatem te wektory są liniowo zależne (gdyby były niezależne byłoby tylko jedno rozwiązanie w którym alfa, beta i gamma były równe zeru).