przekształcenie liniowe

[kijek]

Dla jakich wartości parametru\(\displaystyle{ \lambda R}\) przekształcenie\(\displaystyle{ \varphi}\):\(\displaystyle{ R^{3}}\)\(\displaystyle{ \to}\)\(\displaystyle{ R^{2}}\) zadane wzorem \(\displaystyle{ \varphi((x_{1},x_{2},x_{3}))=}\)\(\displaystyle{ (x_{1}+2x_{2}+(\lambda^{2}-4)x_{1}x_{3} \ , \ 2x_{1}+(\lambda+2)x_{2}+5\lambda-10)}\) jest liniowe?

[andkom]

\(\displaystyle{ \varphi((0,0,0))=(0,5\lambda-10)}\)
Ponieważ przekształcenia liniowe przekształcają wektor zerowy na wektor zerowy, więc musi być \(\displaystyle{ 5\lambda-10=0}\), czyli \(\displaystyle{ \lambda=2}\).
Dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\) mamy
\(\displaystyle{ \varphi((x_1,x_2,x_3))=(x_1+2x_2,2x_1+4x_2)}\)
a to jest przekształcenie liniowe.