zadanie o przestrzeni liniowej
-
gabriel
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 20 lis 2006, o 17:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zabrze
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
zadanie o przestrzeni liniowej
pokazać ze jeśli V - przestrzeń liniowa nad ciałem nieskończonym to V nie jest sumą teoriomnogościową skończenie wielu swoich podprzestrzeni wlasciwych
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
zadanie o przestrzeni liniowej
Zadanie można zrobić w ten sposób, że przez indukcję po n pokazuje się, że dla każdego n, jeśli \(\displaystyle{ U_1,U_2,\ldots,U_n}\) są właściwymi podprzestrzeniami liniowymi \(\displaystyle{ V}\), to istnieje \(\displaystyle{ x\in V}\) taki, że \(\displaystyle{ x\not\in U_i}\) dla i=1,2,...,n.
Dla n=1 sprawa jest jasna.
Załóżmy, że mamy podprzestrzenie właściwe \(\displaystyle{ U_1,U_2,\ldots,U_{n+1}}\) i mamy \(\displaystyle{ x\in V}\) taki, że \(\displaystyle{ x\not\in U_i}\) dla i=1,2,...,n. Pokażemy, że istnieje \(\displaystyle{ y\in V}\) taki, że \(\displaystyle{ y\not\in U_i}\) dla i=1,2,...,n+1. Jeśli \(\displaystyle{ x\not\in U_{n+1}}\) to bierzemy y=x i jest O.K. Jeśli zaś \(\displaystyle{ x\in U_{n+1}}\) to zauważmy, że \(\displaystyle{ U_{n+1}}\) jest podprzestrzenią właściwą, więc istnieje \(\displaystyle{ z\in V\setminus U_{n+1}}\). Rozważmy wektory postaci \(\displaystyle{ x+tz}\), gdzie t należy do naszego nieskończonego ciała.
\(\displaystyle{ x+tz\in U_{n+1}}\) jedynie dla t=0. Gdyby bowiem należało do \(\displaystyle{ U_{n+1}}\) dla jakiegoś t niezerowego, to mielibyśmy \(\displaystyle{ z=\frac{(x+tz)-x}t\in U_{n+1}}\). Zauważmy też, że dla każdego i=1,2,3,...,n istnieje co najwyżej jedno t takie, że \(\displaystyle{ x+tz\in U_n}\). Gdybyśmy bowiem mieli \(\displaystyle{ x+t_1z\in U_i}\), \(\displaystyle{ x+t_2z\in U_i}\) oraz \(\displaystyle{ t_1\ne t_2}\) to również mielibyśmy \(\displaystyle{ x=\frac{t_1(x+t_2z)-t_2(x+t_1z)}{t_1-t_2}\in U_i}\).
Wynika stąd, że istnieje tylko skończenie wiele t dla których x+tz należy do którejś z podprzestrzeni \(\displaystyle{ U_1,U_2,\ldots,U_{n+1}}\). Ponieważ nasze ciało jest nieskończone, więc istnieje t takie, że \(\displaystyle{ y:=x+tz}\) nie należy do żadnej z podprzestrzeni \(\displaystyle{ U_1,U_2,\ldots,U_{n+1}}\).
Dla n=1 sprawa jest jasna.
Załóżmy, że mamy podprzestrzenie właściwe \(\displaystyle{ U_1,U_2,\ldots,U_{n+1}}\) i mamy \(\displaystyle{ x\in V}\) taki, że \(\displaystyle{ x\not\in U_i}\) dla i=1,2,...,n. Pokażemy, że istnieje \(\displaystyle{ y\in V}\) taki, że \(\displaystyle{ y\not\in U_i}\) dla i=1,2,...,n+1. Jeśli \(\displaystyle{ x\not\in U_{n+1}}\) to bierzemy y=x i jest O.K. Jeśli zaś \(\displaystyle{ x\in U_{n+1}}\) to zauważmy, że \(\displaystyle{ U_{n+1}}\) jest podprzestrzenią właściwą, więc istnieje \(\displaystyle{ z\in V\setminus U_{n+1}}\). Rozważmy wektory postaci \(\displaystyle{ x+tz}\), gdzie t należy do naszego nieskończonego ciała.
\(\displaystyle{ x+tz\in U_{n+1}}\) jedynie dla t=0. Gdyby bowiem należało do \(\displaystyle{ U_{n+1}}\) dla jakiegoś t niezerowego, to mielibyśmy \(\displaystyle{ z=\frac{(x+tz)-x}t\in U_{n+1}}\). Zauważmy też, że dla każdego i=1,2,3,...,n istnieje co najwyżej jedno t takie, że \(\displaystyle{ x+tz\in U_n}\). Gdybyśmy bowiem mieli \(\displaystyle{ x+t_1z\in U_i}\), \(\displaystyle{ x+t_2z\in U_i}\) oraz \(\displaystyle{ t_1\ne t_2}\) to również mielibyśmy \(\displaystyle{ x=\frac{t_1(x+t_2z)-t_2(x+t_1z)}{t_1-t_2}\in U_i}\).
Wynika stąd, że istnieje tylko skończenie wiele t dla których x+tz należy do którejś z podprzestrzeni \(\displaystyle{ U_1,U_2,\ldots,U_{n+1}}\). Ponieważ nasze ciało jest nieskończone, więc istnieje t takie, że \(\displaystyle{ y:=x+tz}\) nie należy do żadnej z podprzestrzeni \(\displaystyle{ U_1,U_2,\ldots,U_{n+1}}\).