Zbadać izomorfizm.

komornik · Post autor: **komornik** » 11 lis 2007, o 16:23

Mamy dwie struktury:

$\displaystyle{ (\mathbb{R}^2, \oplus) $ gdzie $(x_1,x_2)\oplus(y_1,y_2):=(x_1+y_1,x_2+y_2)}$

oraz

$\displaystyle{ (L,+)}$ gdzie $\displaystyle{ L:=\lbrace f|f:R\rightarrow R, f(x)=ax+b\rbrace}$, a sumę funkcji definiujemy jako $\displaystyle{ (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$.

Należy sprawdzić, czy dane struktury są izomorficzne oraz wskazać izomorfizm ustalający ich podobieństwo.

Bardzo proszę kogoś zorientowanego w temacie o pomoc.

Doszedłem do równania (nie wiem czy słusznie) :

$\displaystyle{ (x_1,x_2)\oplus(y_1,y_2)=f(x_1,x_2)+g(y_1,y_2)}$

I nie wiem, co z tym równaniem dalej zrobić.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 11 lis 2007, o 18:28

nietrudno sprawdzić, że odwzorowanie $\displaystyle{ (x_1, x_2)\mapsto x_1\cdot t+x_2}$ jest różnowartościowe i na. należy sprawdzić, że zachowuje działanie struktury. dla danych $\displaystyle{ (x_1, x_2),\ (y_1, y_2)}$ jest: $\displaystyle{ (x_1+y_1,x_2+y_2) \mapsto (x_1+y_1)\cdot t + (x_2+y+2)=(x_1\cdot t+x_2) + (y_1\cdot t+y_2)}$. ale $\displaystyle{ (x_1, x_2)\mapsto x_1\cdot t+x_2}$ i $\displaystyle{ (y_1, y_2)\mapsto y_1\cdot t+y_2}$, co należało uzasadnić. zatem jest to izomorfizm struktur.