baza podprzestrzeni
-
gabriel
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 20 lis 2006, o 17:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zabrze
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
baza podprzestrzeni
znaleźć bazę podprzestrzeni liniowej W zawartej w przestrzeni wielomianów stopnia nie większego od n o współczynnikach rzeczywistych, gdzie W to zbiór wielomianów których trzecia pochodna w punkcie x=7 ma wartość 0
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
baza podprzestrzeni
Rozważ wielomiany
\(\displaystyle{ 1\\x\\x^2\\x^4-7\cdot\frac 41\cdot x^3\\
x^5-7\cdot\frac 52\cdot x^4\\
x^6-7\cdot\frac 63\cdot x^5\\
\vdots\\
x^n-7\cdot\frac n{n-3}\cdot x^{n-1}}\)
Brak wielomianu stopnia 3 nie jest tu przypadkowy. Gdy n>3, to nasza podprzestrzeń ma wymiar n-1.
===================================================================
Poprawiłem pomyłki. Teraz powinno już być dobrze. Aby pokazać, że wielomiany te generują całe W, trzeba pokazać , że każdy wielomian \(\displaystyle{ P\in W}\) jest kombinacją liniową powyższych wielomianów (bo ich liniowa niezależność jest jasna - różnią się stopniem), a to można pokazać przez indukcję ze względu na stopień P.
\(\displaystyle{ 1\\x\\x^2\\x^4-7\cdot\frac 41\cdot x^3\\
x^5-7\cdot\frac 52\cdot x^4\\
x^6-7\cdot\frac 63\cdot x^5\\
\vdots\\
x^n-7\cdot\frac n{n-3}\cdot x^{n-1}}\)
Brak wielomianu stopnia 3 nie jest tu przypadkowy. Gdy n>3, to nasza podprzestrzeń ma wymiar n-1.
===================================================================
Poprawiłem pomyłki. Teraz powinno już być dobrze. Aby pokazać, że wielomiany te generują całe W, trzeba pokazać , że każdy wielomian \(\displaystyle{ P\in W}\) jest kombinacją liniową powyższych wielomianów (bo ich liniowa niezależność jest jasna - różnią się stopniem), a to można pokazać przez indukcję ze względu na stopień P.
Ostatnio zmieniony 18 gru 2007, o 11:34 przez andkom, łącznie zmieniany 5 razy.