liniowa niezaleznosc

[gabriel]

pokazac że funkcje sin(x) , sin(2x) , ... , sin(nx) są liniowo niezależne w C(R,R) (przestrzen funkcji ciągłych z R do R). Byłbym wdzieczny za jakąkolwiek pomoc

[andkom]

Załóżmy, że są liniowo zależne. Wówczas istnieją liczby a_1,a_2,...,a_n takie, że
(1) \(\displaystyle{ a_1\sin x+a_2\sin(2x)+\cdots+a_n\sin(nx)=0}\),
nie wszystkie spośród liczb a_i są zerami, ale liczba takich a_i, które są niezerowe jest najmniejsza z możliwych (wówczas co najmniej dwa z nich muszą być niezerowe). Jeśli zróżniczkujmy dwa razy równość (1), to dostaniemy
(2) \(\displaystyle{ -1^2a_1\sin x-2^2a_2\sin(2x)+\cdots-n^2a_n\sin(nx)=0}\)
Jeśli mieliśmy \(\displaystyle{ a_k\ne0}\) oraz \(\displaystyle{ a_l\ne0}\), przy czym \(\displaystyle{ l\ne k}\), to po pomnożeniu równości (1) przez \(\displaystyle{ k^2}\) i dodaniu do niej równości (2) dostaniemy
(3) \(\displaystyle{ (k^2-1^2)a_1\sin x+(k^2-2^2)a_2\sin(2x)+\cdots+(k^2-n^2)a_n\sin(nx)=0}\)
Zauważmy, że w równości (3) nadal występują (między innymi) współczynniki niezerowe (bo \(\displaystyle{ (k^2-l^2)a_l\ne0}\)), ale jest ich o jeden mniej, niż we wzorze (1), bo wyzerował się współczynnik przy \(\displaystyle{ \sin(kx)}\). A to niemożliwe, bo w (1) liczba niezerowych współczynników była minimalna.
Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nasze funkcje nie są liniowo zależne, a więc są liniowo zależne.