witam!
mam takie zadanko:
Dla danej macierzy \(\displaystyle{ A}\) obliczyć \(\displaystyle{ A^{n}}\) kilku początkowych wyrazów, wysunąć hipotezę o postaci macierzy, po czym udowodnić ją przy pomocy zasady indukcji matematycznej.
No i mam następujące podpunkty:
\(\displaystyle{ 1.\ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&3\end{array}\right]\\
2.\ \left[\begin{array}{ccc}2&0&2\\0&2&0\\2&0&2\end{array}\right]\\
3.\ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right]}\)
Ad.3. Widziałem post, w którym była identyczna macierz, ale śledzę go od kilku dni i nie ma odpowiedzi, dlatego dorzucam go również tutaj.
No więc wpadłem na taki tok rozwiązania [dla przykładu weźmy podpunkt nr 1]:
1. Po wymnożeniu \(\displaystyle{ A^{n}}\) dla kilku początkowych wyrazów, moja hipoteza to:
\(\displaystyle{ T(n):
A^{n}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&(-2)^{n}&0\\0&0&3^{n}\end{array}\right]}\)
Dowód.
Stosujemy ZIM:
1. \(\displaystyle{ n_{0}=1
A^{1}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&3\end{array}\right]}\) - znaczy wszystko ok =)
2. Założenie indukcyjne:
Weźmy \(\displaystyle{ k N, k qslant n_{0}}\)
Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ A^{k}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&(-2)^{k}&0\\0&0&3^{k}\end{array}\right]}\)
3. Teza indukcyjna:
\(\displaystyle{ T(k) T(k+1)
A^{k+1}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&(-2)^{k+1}&0\\0&0&3^{k+1}\end{array}\right]}\)
Krok indukcyjny:
\(\displaystyle{ A^{k+1}=A^{k}A}\)
Zatem korzystając z założenia indukcyjnego:
\(\displaystyle{ A^{k+1}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&(-2)^{k}&0\\0&0&3^{k}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&(-2)^{k+1}&0\\0&0&3^{k+1}\end{array}\right]}\)
Zadanie wydało mi się zbyt proste, gdyby można je było rozwiązać w tak łatwy sposób, dlatego wolę spytać o radę bardziej doświadczone Osoby, czyli Was, Koleżanki i Koledzy =)
Zależy mi zwłaszcza na tym, czy krok indukcyjny jest dobry oraz czy sposób rozwiązania jest poprawny.
Czekam na wszelkie wskazówki i pozdrawiam =)
zasada indukcji matematycznej macierzy
-
shogun
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 12 lis 2006, o 23:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wałbrzych
zasada indukcji matematycznej macierzy
no to dobrze =)
czyli, jeżeli dobrze rozumiem, to w podpunkcie drugim jest analogia do podpunktu pierwszego, a co z nr 3? jaka hipoteza dla elementu leżącego w przecięciu się pierwszego wiersza i trzeciej kolumny?
czekam na wskazówki =)
czyli, jeżeli dobrze rozumiem, to w podpunkcie drugim jest analogia do podpunktu pierwszego, a co z nr 3? jaka hipoteza dla elementu leżącego w przecięciu się pierwszego wiersza i trzeciej kolumny?
czekam na wskazówki =)
-
shogun
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 12 lis 2006, o 23:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wałbrzych
zasada indukcji matematycznej macierzy
no tak, tę prawidłowość widziałem już wcześniej, ale nie mogę znaleźć pomysłu na wyraz ogólny..
[ Dodano: 14 Listopada 2007, 16:39 ]
dobra, wymodziłem taki wyraz ogólny:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{n}n-1}\)
tylko teraz proszę o pomoc w udowodnieniu tego ZIM
dzięqję z góry za pomoc =)
[ Dodano: 14 Listopada 2007, 16:39 ]
dobra, wymodziłem taki wyraz ogólny:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{n}n-1}\)
tylko teraz proszę o pomoc w udowodnieniu tego ZIM
dzięqję z góry za pomoc =)